双曲线及其标准方程(一)xj4.doc

双曲线及其标准方程（一） 一、教学目标 一认知目标 1、使学生理解并掌握双曲线的定义（第一定义）； 2、使学生推导双曲线的标准方程； 3、使学生能根据条件求简单的双曲线标准方程. 二能力目标 1、培养学生观察、发现、类比、归纳、概括、推理等能力 2、培养学生全面、系统、辩证地分析问题的能力 培养学生数形结合的思想三情感目标 1、通过双曲线的让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣； 2、在教学中让学生体验数学活动探索与创造，感受数学的严谨性及数学规律的准确性，培养学生勇于探索、勤于思考的精神二、教材分析 1、教学重点 双曲线定义（第一定义），按照给出的条件求简单的双曲线的标准方程. 2、教学难点 双曲线定义（第一定义）的理解及其应用；双曲线的标准方程的推导.、教学过程 一复习提问 椭圆的定义是什么？(学生回答，教师演示) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 二新课引入 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．平面内与两定点F1、F2的距离的等于常数的点的轨迹三实验操作 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹将是什么图形？对常数大于|F1F2|、等于|F1F2|和小于|F1F2|三种情形下的动点的轨迹进行探究。 （四）双曲线的日常生活中曲线F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． | F1F2|；若常数=| F1F2|，点M的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；若常数＞| F1F2|，点M的轨迹不存在. 当常数=0时，轨迹为F1F2中垂线. （五）双曲线标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程． 1、标准方程的推导： 取过焦点F1、F2的直线 为x轴，线段F1 F2的垂直平分线为y轴(如图)建立 直角坐标系．双曲线的焦距2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．设M(x，y)为双曲线上任意一点由定义可知，双曲线就是集合： P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．3）列方程 ∵ ∴ 这就是双曲线的方程，不过它是无理方程，形式比较复杂。 （4）化简方程以前遇到过两个根式的问题吗？如何处理？一般处理方法是将一个根式移到方程的另一边再两边平方。让学生仿照椭圆方程的推导移项两边平方得： 移项得， 整理得两边再平方， 由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a＞，所以c2-a2＞0． 设c2a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2a2y2=a2b2．a2b2，得 　　　① 这就是双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是F1（－c，0）、 F2（c，0），这里c2=a2+b2(如图3)； （2）如果双曲线的焦点在y轴上(如图4)，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c），c2=a2+b2，那么只须将方程①的x、y互换即可得它的方程 ， 这个方程也是双曲线的标准方程. 3、 椭圆、双曲线对比列表（课件显示） 椭 圆 双 曲 线 定 义 |MF1|+|MF2|= 2a(２a |F1F2|) ||M F1|－|M F2||=2a (2a |F1F2|) 图 形 方 程 焦点坐标 F（±c，0） F（0，±c） F（±c，0） F（0，±c） a、b、c的关系 c2=a2－b2 c2=a2＋b2 对比提问： （1）双曲线的标准方程中a、b、c的关系是什么？与椭圆有何不同？ 答：双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2． a＞0，b＞0，但a不一定大于b；a最大。 （2）双曲线的标准x2、y2的系数与焦点所在的坐标轴有何联系？与椭圆有何不同？ 答：双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上x2、y2系数的分母的大小而定的. （六）例题讲解 例 已知双曲线的焦点坐标为F1（－5，0），F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ∵2a=6，2c=10， ∴a=3，c=5，∴b2=52－32=16. 所以所求标准方程为. 变式1：若将例1的“差的绝对值等于6”改为“差等于6”，结果会怎样？ 答：所求标准方程为（x＞0焦点在x轴上的标准方程；焦点在y轴上的标准方程为.表示焦点在