求解物体的平衡问题中的几何方法.doc

求解物体的平衡问题中的几何方法 合肥市第三十四中学 葛云松 邮编： 230031 电话物体的平衡状态是指静止或匀速直线运动状态，物体处于平衡状态的充要条件是其所受的合外力为零。 求解物体的平衡问题是高中物理的重点和难点。平衡类问题常涉及对物体受力分析，再对所受的力进行合成或分解，而力的合成与分解都遵从平行四边形法则，平行四边形是平面几何中的一个重要图形，所以求解物体的平衡问题常涉及到一些几何知识。充分利用已知条件，结合几何中的重要定理或公式，往往能使求解物体的平衡问题得到简化。 力的合成问题 力的合成遵从平行四边形法则，图1所示F表示F1，F2的合力，表示F1，F2的夹角。将平行四边形法则稍加变换即得到求合力F的三角形法则；如图2所示。 ① 求合力F的大小 结合图2的三角形，由余弦定理得： F2=F12+F22-2F1F2cos(180°-) (1) 由（1）得 F= （2） 若=90°，图2中三角形直角三角形，由勾股定理得F=。 若F1=F2，且=120°，则图2中的三角形为等边三角形，即F= F1=F2，且与F1，F2的夹角均为60°。 ② 求解合力范围 图2中，F，F1，F2构成三角形的三条边，由三角形的三边关系知：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，则 |F1-F2|＜F＜F1+F2 （3） 当F1，F2同向时，F= F1+F2；当F1，F2反向时，F=| F1-F2|。结合（3）式可得合力的范围为： |F1-F2|≤F≤F1+F2 正弦定理法 在同一平面内的三个共点力平衡时（图3），将三个力首尾相接将组成一个闭合三角形（图4）。 由正弦定理得： （4） 又1+1=180°，2+2=180°，3+3=180°，则 （5） 结合已知角度和力的大小，利用（4）式或（5）式可方便地求解物体的平衡问题。 例1：一个重为G的物体被悬挂后，再对物体施加一个大小一定的作用力（FG），使物体在某一位置重新获得平衡，如图5所示，若不计悬线质量，求悬线与竖直方向的最大夹角。 分析：对物体受力分析，设F与T的夹角为，画出力矢量三角形，由正弦定理得： 要使最大，，即F 与T垂直，此时max=arcsin 相似三角形法 若已知长度，则依据力的矢量三角形与长度三角形相似可以求解未知力。 例2：固定在水平面上的光滑半球，半径为R，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图6所示，现缓慢地将小球从A点拉到B点，试分析此过程中小球对半球的压力大小N和细线的拉力大小T的变化情况。分析：小球的受力情况如图6所示，因小球缓慢运动，所以小球所受的合外力为零，作出N，T的合力F。则F=mg,由几何关系知，由F，T，N组成的矢量 三角形与△AOC相似，所以 在拉动过程中，AC变小，OC与R不变，所以N不变，T变小。 面积法 有固定转动轴的物体的平衡条件是使物体顺时针转动的力矩等于使物体逆时针转动的力矩，即合力矩为零。力矩的计算式：M=FL。 如图7所示，在△ACB中，L为高，S△ACB=FL。 因此力F的力矩数值上等于S△AOB。我们可以通过 计算三角形的面积来间接计算力矩。而三角形面积 的计算可将几何知识与已知条件结合起来，选择灵 活简便的方法。 例3：如图8所示，直杆OA可绕O轴转动，杆端A点分别受到力F1，F2，F3，F4的作用，已知力的作用线跟OA杆在同一竖直面内，且四个力的矢量未端C、D、E、F在与OA平行的虚线上，它们对O轴的力矩分别为M1、M2、M3、M4，则这四个力的力矩大小关系如何？ 分析：通过以上的分析，可以知道只需比 较S△ACO 、S△ADO 、S△AEO 、S△AFO大小 关系即可知M1、M2、M3、M4的大小关系， 而上述四个三角形有共同的底边AO， 且AO上的高相等，可知： S△ACO =S△ADO =S△AEO= S△AFO， 所以M1=M2=M3=M4。 综合应用 通过以上几个例题可知将三角形的一些性质应用到力的矢量三角形，会给解决问题带来方便。在对物体受力分析时寻找三角形是解决问题关键，而物体受多于三个作用时，这些力构成一个多边形。因此有必要将这多个力的一对力或几对力进行合成。最终转化为物体受三个力作用，以构造力的矢量三角形。 例4：重为mg的木块与水平地面间的动摩擦因数为，一人欲用最小的作