高考试题(湖南)——理科数学(缺答案).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理科） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共６页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共10小题，每小题５分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. １．已知，则复数＝（　　　） A. B. C. D. ２．设是两个集合，则“”是“”的（　　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ３．执行如图１所示的程序框图.如果输入，则输出的 A. B. C. D. ４．若变量满足约束条件，则的最小值为（　　　） A. B. C. D. ５．设函数，则是（　　　） A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数 C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数 ６．已知的展开式中含的项的系数为30，则＝（　　　） A. B. C. D. ７．在如图２所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　　） A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772 附：若，则 ８．已知点在圆上运动，且.若点的坐标为，则 的最大值为（　　　） A.６ B.７ C.８ D.９ ９．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的有，则＝（　　　） A. B. C. D. 10．某工件的三视图如图３所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 A. B. C. D. 二、填空题：本小题共５小题，每小题５分，共２５分. 11．＝　　　　. 12．在一次马拉松比赛中，３５名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图４所示： 若将运动员按成绩由好到差编为１～35号，再用系统抽样方法从中抽取７人，则其中成绩在区间上的运动员人数是　　　　　. 13．设是双曲线的一个焦点.若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴一个端点，则的离心率为　　　　　. 14．设为等比数列的前项和.若且成等差数列，则＝　　　　. 15．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是　　　　　　　　. 三、解答题：本大题共６小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 本小题设有I，II，III三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.如果全做，则按所做的前两题计分. I．（本题满分６分）选修４－１：几何证明选讲 如图５，在中，相交于点的两弦的中点分别是，直线与直线相交于点，证明： （i） （ii） II．（本题满分６分）选修４－４：坐标系与参数方程 已知直线（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （i）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （ii）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值. III．（本题满分６分）选修４－５，不等式选讲 设且，证明： （i） （ii）不可能同时成立. 17．（本小题满分12分） 设的内角的对边分别为，，且为钝角. （I）证明：； （II）求的取值范围. 18．（本小题满分12分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有４个红球、６个白球的甲箱和装有５个红球、５个白球的乙箱中，各随机摸出１个球.在摸出的２个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有１个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （I）求顾客抽奖１次能获奖的概率； （II）若某顾客有３次抽奖机会，记该顾客在３次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分） 如图６，已知四棱台的上、下底面分别是边长为３和６的正方形.且底面，点分别在棱上. （I）若是的中点，证明： （II）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 20．（本小题满分12分） 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （I）求的方程； （II）过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向. （i）若，求直线的斜率； （ii）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 21．（本小题满分12分） 已知，函数，记为的从小到大的第 个极值点.证明： （I）数列是等比数列； （II