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狭义相对论公式及证明 单位符号单位符号 坐标m (x,y,z) 力N F(f) 时间s t(T) 质量kg m(M) 位移m r 动量kg*m/s p(P) 速度m/s v(u) 能量J E 加速度m/s^2 a 冲量N*s I 长度m l(L) 动能J Ek 路程m s(S) 势能J Ep 角速度rad/s ω 力矩N*m M 角加速度rad/s^2 α 功率W P 一、牛顿力学预备知识质点运动学基本公式：1）v=dr/dt，r=r0+∫rdt ???????????????????????（2）a=dv/dt，v=v0+∫adt （注两式中左式为微分形式，右式为积分形式当v不变时，1）表示匀速直线运动当a不变时，2）表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动方程rr(t)，它的一切运动规律就可知了。质点动力学：1）牛一：不受力的物体做匀速直线运动。2）牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt （3）牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F=GMm/r^2，G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 动量定理：I=∫Fdt=p2-p1合外力的冲量等于动量的变化动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1合外力的功等于动能的变化机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma它是运动学与动力学的桥梁我们的目的是知道物体的运动规律即求解运动方程r=r(t)若知受力情况，根据牛二可得a再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t)可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。二狭义相对论力学注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2)β=u/c，u为惯性系速度。基本原理：1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。?????????????（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。此处先给出公式再给出证明洛仑兹坐标变换X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)光源与探测器在一条直线上运动。动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm相对论力学基本方程：F=dP/dt质能方程：E=Mc^2能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。三三维证明由实验总结出的公理，无法证明。洛仑兹变换：设(x,y,z,t)所在坐标系A系静止，X,Y,Z,T）所在坐标系B系速度为u且沿x轴正向在A系原点处x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT即X+uT=0可令x=k(X+uT)(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价因此k不再是常数。同理，B系中的原点处有X=(x-ut),由相对性原理知两个惯性系等价除速度反向外两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut)(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关可得Y=y(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT即T=kt+((1-k^2)/(ku))x(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ctX=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度变换：V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))????????=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) ????????=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表达式尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆则由X=γ(x-ut)得△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x即：△l=γ△L,△L=△l/γ钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/