第1章质点的运动和牛顿定律习题解答.doc

第章 质点运动与牛顿定律 1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m)再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求1）全过程的位移和路程；2）整个过程的平均速度和平均速率。分析：从位移的概念出发，先用分量之差表示出每段位移，再通过矢量求和而求出全过程的位移，进而由路程、平均速度和平均速率的概念求出路程、平均速度和平均速率。解： （1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为： 其大小为： 全过程位移的方向为： 即方向向东偏北 （2）平均速度 其大小为： 平均速度的方向沿东偏北 平均速率 1-10 一质点P沿半径的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为，设时，质点位于O点。按如图所示的坐标系，求：(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。分析：只要找出在任意时刻质点P点的坐标，（通过辅助坐标系而找出）就能表示出质点P在任意时刻的位矢，进而对时间求导求出速度和加速度解：如图所示，在坐标系中，因，则质点P的参数方程为： 坐标变换后，在坐标系中有： ， 则质点P的位矢方程为： 5s时的速度和加速度分别为 ： 1-11 已知一质点的运动方程为(单位为SI制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物体运动的类型。分析：可由位矢速度、加速度。物体运动的类型的正负判断运动方向，以时刻为物体加速或减速的分界线。解： 由 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为： ； （1）第2秒内的平均速度 (2)第3秒末的速度 ，与运动方向相反。 (3)第一秒末的加速度 （4）令，得 时x达到极值,从此时开始质点将改变运动方向。 令，得 ，这是个拐点，在此时刻之前，质点作加速运动，在此时刻之后，质点作减速运动。1-12质点的运动方程为，求当=2(s)时，质点的速度和加速度。分析：已知，可由位矢与速度、加速度的关系、 求出速度和加速度。解：质点在任意时刻的速度为：则 ， 当t=2(s)时，质点的速度大小为： 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 质点在任意时刻的加速度为： 则 ，当t=2(s)时，质点的加速度大小为： 方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-13已知质点的运动方程为 式中为常量，试问质点作什么运动？其速度和加速度为多少？分析：可由运动方程去参数t，得质点轨迹方程。而由位矢与速度、加速度的关系求出速度、加速度解：由已知坐标分量式 可知： 将上面两式相加 ，此即质点作匀速率圆周运动，其速度分量式 ， 大小 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 其加速度分量式， 大小 方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-14物体沿直线运动，其速度为(单位为SI制)。如果=2()时，=4()，求此时物体的加速度以及=3()时物体的位置。 分析：可通过求导求出加速度。 通过积分求出位置矢量。解： 由可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为： 上式变形后再两边积分为： 当t=2()时，物体的加速度为： 当t=3()时物体的位置为： 1-15已知一质点由静止出发，其加速度在轴和轴上分别为，（a的单位为SI制），试求=5(s)时，质点的速度和位置。分析：可先由加速度各分量积分求出速度相应分量，再由速度分量求出速度大小、方向。同理由速度积分求出位矢。解： 由可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为： ，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时质点的速度为： 速度的大小： 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 ，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时，质点的位置为： 位置的大小： 方向：以表示位置与x轴间的夹角，则 1-16路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速行走，试求人影顶端移动的速度。分析：由题知，在任意时刻，灯、人顶部、人影顶三点应在一条线上，明确在图中人影顶移动的速度为，而人移动的速度为=，只要找出x与b几何关系，通过求导就能找与的联系。解： 由于 故可得： 两边微分： 变形上式可得： 所以人影顶端移动的速度为：由 可得： 1-17 一质点作半径为=10(m)的圆周运动,其角坐标可用（单位为SI制）表示，试问：（1）=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当角等于多少时，其总加速度与半径成？分析：由角坐标，角速度角加速度可求出法向加速度和切向加速度。而总加速度与半径成，与大小相等，由此解出t，而求出。解： （1）由于，则角速度，在时，法向加速度和切向加速度的数值分别为： 当总加速度与半径成时，此时应有： 即： 于是