普通高等学校招生全统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数　学（理工类） 参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12． 13．3 14． 15． 16．390 三、解答题 17．（本小题满分12分） 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：． 因此，函数的最小正周期为． （Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为． 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下： 由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为． 18．（本小题满分12分） 本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，． 故取出的4个球均为黑球的概率为． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥， 且，． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为． （Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，， ． 从而． 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 19．（本小题满分12分） 本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． （Ⅱ）证明：由，，可得． 是的中点，． 由（Ⅰ）知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． （Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，　平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则． 在中，． 所以二面角的大小是． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是． 20．（本小题满分12分） 本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当时，，， 又，． 所以，曲线在点处的切线方程为， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分两种情况讨论． （1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． （2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 21．（本小题满分14分） 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解法一：， ， ． 由此可猜想出数列的通项公式为． 以下用数学归纳法证明． （1）当时，，等式成立． （2）假设当时等式成立，即， 那么 ． 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式　对任何都成立． 解法二：由，， 可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为． （Ⅱ）解：设，　　　① 　　　　　　　　② 当时，①式减去②式， 得， ． 这时数列的前项和． 当时，．这时数列的前项和． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明： ．　　　　③ 由知，要使③式成立，只要， 因为 ． 所以③式成立． 因此，存在，使得对任意均成立． 22．（本小题满分14分） 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即． 解得，从而得到．