暑期培优：第三章 角函数、解三角形(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版.doc

专题三、三角函数解三角形 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)分类 (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，kZ}． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；弧长公式：l＝|α|r；扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．利用180°＝π rad进行互化时，易出现度量单位的混用． 3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝. [试一试] 1．若α＝k·180°＋45°(kZ)，则α是第______象限角．　　　　2．已知角α的终边经过点(，－1)，则sin α＝________. 1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦； 2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想． [练一练]若sin α0且tan α0，则α是第______象限角． 考点一 角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题：－是第二象限角；是第三象限角；－400°是第四象限角；－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个． 2．终边在直线y＝x上的角的集合为________． 3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________． 4.设集合M＝，N＝，那么集合M，N的关系是______． [类题通法] 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置． 考点二 三角函数的定义 [典例]　(1)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为_____． (2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cos α＝x，则sin＝_______. [类题通法] 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． [针对训练] 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 考点三 扇形的弧长及面积公式 [典例]　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. [类题通法] 弧度制应用的关注点 (1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． [练通考点] 1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP＝θ，则点P的坐标是________． 2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α0，则实数a的取值范围是________． 4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 5．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________． 6．(2014·扬州质检)已知sin α＝，且α，则tan α＝______. 第卷：夯基保分卷 1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中