第二章机械优化数学问题总结.ppt

第二章 优化设计的数学模型和基本概念 §2.1 优化设计的数学模型 §2.1 优化设计的数学模型 §2.1 优化设计的数学模型 §2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.2 优化设计的三大要素 §2.2 优化设计的三大要素 §2.2 优化设计的三大要素 §2.2 优化设计的三大要素 §2.2 优化设计的三大要素 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.3 优化设计的分类（续） §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 优化问题的几何解释 以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线段ABCD由A点出发时，AB段目标函数值下降。过点B后，在BC段目标函数值上升。过C点后，在CD段目标函数值再次下降。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组： 由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是 {X| f(X)=C, C是常数}称为目标函数的等值面。 等值面具有以下性质： （1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数； （2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢； （3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。 §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 总结：优化问题的极值条件 2. 处取得极值充分条件 K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件 凸函数的集合意义如图所示： 一元凸函数的几何意义 在凸函数曲线上取任意两点（对应于X轴上的坐标X(1)、X（2））联成一直线线段，则该线段上任一点（对应于X轴上的X(k)点）的纵坐标Y值必大于或等于该点（X(k)）处的原函数值f(X(k))。 凸规划 对于约束优化问题 式中若F（X）、 均为凸函数，则称此问题为凸规划。 凸规划的一些性质： 2）凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解； 1）可行域 为凸集； 3）若F（X）可微，则X*为凸规划问题的最优解的充分必要条件为： 对任意 ，对满足 不论是无约束或有约束的优化问题，在实际应用中，要证明一个优化问题是否为凸规划，一般比较困难，有时甚至比求解优化问题本身还要麻烦。尤其对一些工程问题，由于其数学模型的性态都比较复杂，更难实现。因此，在优化设计的求解中，就不必花精力进行求证，而通常是从几个初始点出发，找出几个局部最优解，从中选择目标函数值最好的解。 注意： 判别函数为凸函数的凸性条件： 按梯度判断凸性：设f(x)是定义在凸集 D上具有连续一阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：对于任意的 x(1),x(2)∈D 都有 成立。 按二阶偏导数判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处半正定。若Hesse矩阵处处正定，则f(x)为严格凸函数。 凸函数的基本性质： 若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点，也就是全局最小点。 凸函数的线性组合仍然为凸函数。 设x(1), x(2)为凸函数 f(x)上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。 四. 函数的凸性 一. 优化设计最优解 无约束优化设计问题最优解： 约束优化设计问题最优解： 不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点 x*=[x1*,x2*,…,x n*] 和最优值 f(x*)构成无