第九章概率模型总结.ppt

9.7 学生作弊现象的调查和估计 Warner模型（正反问题选答） 设计两个相反的问题供学生们选答其中一个： 问题A. 你在考试中作过弊吗？ 问题B. 你在考试中没有作过弊吗？ Warner模型 共n位被调查学生均独立作答. 被调查学生一旦选定应回答的问题, 他将真实作答. 选答A题的学生比例为 p. 对问题A，B两题选答“是”的学生共n1位, 选答“是”的比例(概率)π的估计值为 Warner模型 的性质及分析 Warner模型的数值结果 n=400，A,B两题选答“是”的学生数 n1=112， p=10/13 ， Simmons模型 (无关问题选答 ) 设计供学生们选答的问题： 问题A. 你在考试中作过弊吗？ 问题B’. 你生日的月份是偶数吗？ Simmons模型 Simmons 模型的数值结果 n=400， n2=80， p=10/13 ， Simmons模型与Warner模型的精度比较 Christofides模型（2003） Christofides模型 Christofides模型 Christofides模型的数值结果 3种模型的比较 求解 比较：确定性指数增长模型 X(t)的方差 E(t)-?(t) ?-? = r ?? D(t)? E(t)+?(t) E t 0 n0 ?, ??? D(t)? X(t)大致在 E(t)?2?(t) 范围内（? (t) ~均方差） r ~ 增长概率 r ~ 平均增长率 随机人口模型 这个随机模型得到的人口期望值的结果与最简单的确定性指数增长模型的结果 相对应. 如果建立与确定性阻滞增长模型相对应的随机模型, 难以得到结果, 也不知道与确定性模型结果是否一致. 本模型更积极的意义是可以描述一般的生灭过程, 如电梯的升降、各种排队系统等. 9.6 航空公司的预订票策略 预订票业务～航空公司为争取客源开展优质服务 问题 预先订票的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一 班机或退票，无需附加任何费用. 若公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订 了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低. 如果不限制预订票数量，若持票按时来的乘客超过飞 机容量，必然引起不能走乘客的抱怨, 给公司带来损失 . 公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票 数量的最佳限额 . 问题分析 公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和 赔偿金后的利润来衡量. 社会声誉可以用持票按时前来登机、但因满员不能 飞走的乘客（被挤掉者）限制在一定数量为标准. 随机因素——预订票的乘客是否按时前来登机. 经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量. 两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的限额. 模型假设 1. 飞机容量n，飞行费用r (与乘客数量无关)，机票 价格 g=r/?n，其中?(1)是利润调节因子; 预订票数量的限额 m(n)，每位乘客不按时前来 登机的概率p，“各位乘客是否按时前来”相互独立; 3. 每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b. （? =0.6 表示飞机达到60%满员率就不亏本） 模型建立 1. 每次航班的利润 s= 机票收入?飞行费用?赔偿金 若 m位预订票乘客中有k位不按时前来 (按时前来者不超过容量) (按时前来者超过容量) k位乘客不按时前来的概率 (二项分布) 平均利润 模型建立 2. 公司为维护社会声誉，要求被挤掉者不要太多， 用被挤掉者超过若干人的概率作为度量指标 . 被挤掉者超过j人(m人中不按时前来的不超过m- n- j-1人 )的概率 给定n, j, 若m= n+ j, 被挤掉的不会超过j, 即Pj(m)=0 若mn+ j, Pj(m) 随m增加而单调增加 以Pj(m)不超过某个给定值为约束条件，以平均利润S(m)为单目标函数. 优化问题目标函数 模型求解 目标函数: 单位费用获得的平均利润 给定 n, ?, p, b/g (赔偿金占票价的比例), 求 m使 J(m)最大. 约束条件 容量n, 预订票限额m, 费用r, 调节因子?, 赔偿金b, 票价 g=r/?n, 不按时登机概率p, ? (1) 给定 模型求解 0.1780 0.6666 0.6445 0.6523 322 0.0650 0.4630 0.6485 0.6543 320 0.0160 0.2612 0.6512 0.6551 318 0.0023 0.1123 0.6517 0.6540 316 0.0002 0.0341 0.6492 0.6503 314 0.0000 0.0066 0.6434 0.6439 312 0 0.000