化学试验设计法中的回归分析研讨.ppt

若把这些变量保留，不仅增加计算工作量，而且会增加回归方程的不稳定性，因此希望从n个变量中选出与y最密切、最具代表性的变量来描述y变化的情况。即希望所得回归方程包含一切对y作用显著的因素，不包含对y不显著的变量。 自变量x的显著性如何检验？ 假定在n个自变量中已经建立了x1、x2、…、xL对y的回归方程，对各变量的贡献进行比较，找出最小贡献xj，要检验xj的显著性，则可由xj对y的方差贡献Qj来衡量。 通常用Qj与x1、x2、…、xL的整体方差Q之比Qj/Q来量度。 采用F检验： 逐步回归分析逻辑结构图 多元线性回归举例。 例14. 已知水泥在凝固过程中放出的热量y(J/g)与以下四种成分的含量有关： x1: 3CaO·SiO2; x2: 2CaO·SiO2; x3: 3CaO·Al2O3; x4: 4CaO·Al2O3·Fe2O3; 原始数据如下表： 具体处理见EXCEL表。 * * 6．4 多元线性回归 一元线性和非线性回归方法对单因素试验很管用，但是我们在试验中经常碰到的是多因素情况。 譬如分析化学中常见的多组分分析问题，如何做？？ 传统的方法是采用化学掩蔽或分离等方法，将其转化为单因素进行研究。 但这样经常费时费力，还得到的不一定是最好的条件。 还有如前面提到的均匀设计法的数据分析，要求出多个因素的最优水平，如何做？？ 在这时就必须采用多元回归。 多元回归有多种，除了多元线性、非线性回归外，其他如化学计量学中的主成分分析、偏最小二乘法、聚类分析等也是比较常用的回归分析方法。 多元线性回归是一种使用非常广泛的校正方法，在均匀设计中就要用到。 对于一个多因素（X1、X2、…Xn）的试验，试验响应指标为Y，如果Y与各因素之间为线性关系，则有： （11） 这里，b0为常数项，b1、…bn称为多元线性回归的偏回归系数。 和一元线性回归方法类似，用最小二乘法来确定建立模型的系数，从而可以建立起Y对Xi的线性回归方程。 当Xi取不同水平（如m个水平）时，经过试验可以得到不同的响应指标值Yi： … （12） 注意这里m≥n＋1，想一想为什么？ 方程组（12）可以用最小二乘法来确定b0~bn的值。 即： （13） 同样的，为了得到极小值，对（13）式求导： … （14） 方程组（14）可变形为： … (14)’ (14)’称为正规方程组，其方程数目与未知数数目相等。 方程组(14)’右边的系数矩阵为： ＝XTX m … … … … 而左边为： ＝XTY … 因此(14)’式的矩阵形式就是： XTY＝XTXB （15） 如果XTX的逆矩阵(XTX)-1存在，则系数矩阵为： B＝(XTX)-1 XTY (16) 如果将（16）式代入（12）式，则有： Y’＝XB＝X(XTX)-1XTY (17) (17)式表示了实验值Yi与拟和值Yi’的关系，可能很接近，也可能不相符，甚至相差很大。因而也需要对拟和结果进行检验。 对于多元回归分析，通常采用复相关系数r来评价拟和值Yi’和实验值Yi之间的关系。 根据方差分析的思想，将Y的总差方和ssT（total）分解为两部分，一部分是由自变量的变化引起的Y的波动，即回归差方和ssReg（regression）；另一部分是随机误差或其他未知因素引起的波动，即残余差平方和ssRes（residual）。 （18） ssT、ssReg、ssRes的自由度分别是m-1, n, 和m-n-1。 （19） r越接近1，说明Y与自变量的相关性越好。 r在回归分析中是非常重要的指标。 但是应注意：r不仅是回归方程中自变量个数n的函数，还与观测水平数m有关。当 m相对于n不很大时，常有较大的r，特别是当m＝n+1时，即使n个自变量与y不相关，也恒有r=1 (Q= 0)。因而在实际计算中，要注意m和n的比例问题。 一般认为，m至少为n的5倍。 6．5 多元非线性回归 多元非线性回归是另一个很常用的回归方法，其回归原理也和一元非线性回归相似。 一般有两种方法： （1） 变量代换法。 （2）非线性最小二乘法，它就是采用最小二乘法估计非线性模型中的参数，从而建立非线性回归模型。 一般的，当我们不知道回归模型时，则多元非线性回归可转化成多元多次多项式进行拟合，这是基于泰勒展开的基础。通过这样的转换即可对其进行多元非线性拟合 。 6．6 逐步回归分析法介绍（stepwise regression） 在上一节中讨论了多元回归分析。当我们不知道指标（因变量）和多个因素（自变量）之间的关系模型时，如何