北京交通大学(最优控制理论与算法研究生课程)第五章线性二次型最优控制研讨.ppt

最优控制的存在性与唯一性(3/13) 由P(t)的唯一性可知, 分别为 式中, 分别为对应于控制量 的最优状态轨线。 因此, 在两种最优控制下的闭环系统状态方程分别为 可见, 最优状态轨线 满足同一个微分方程和同样的初始条件。 最优控制的存在性与唯一性(4/13) 根据微分方程初值问题解的唯一性,显然有 从而有 即唯一性得证。 证毕 由定理14和15表明,对于线性系统二次型性能指标泛函的最优控制问题,如果控制区间[t0,tf]有限,则其最优控制必存在,且唯一地具有状态线性反馈律的形式。 下面通过分析一个一阶系统的最优状态调节器问题, 进一步领会该调节器的基本特性。 最优控制的存在性与唯一性(5/13)—例11 例11 已知一阶被控系统的状态方程和性能指标分别为 式中, f ?0, q?0, r0。试求其最优控制和最优状态轨线。 解 由定理14,可以求出该问题的最优控制为 式中, p(t)是如下黎卡提微分方程及边界条件的解 最优控制的存在性与唯一性(6/13) 由上述微分方程可知, p(t)的解满足 积分上式,可得 其中 最优控制的存在性与唯一性(7/13) 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解 于是得 最优状态轨线为对上述线性定常系统的最优状态调节器问题,其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性质。 最优控制的存在性与唯一性(8/13) 图7 状态最优调节器结构图 这是最优状态调节器在tf?的一个重要性质。 图7是例11的最优状态调节器的结构图。 图中信号p(t)是对黎卡提微分方程进行电子电路模拟的结果,其初始信号p(0)是对黎卡提微分方程的解在t=0时的值。 最优控制的存在性与唯一性(9/13) 图8(a)表示在a=-1,f=0,tf=1,x(0)=1和q=1时,以r为参数的一组最优状态轨线x(t)。 当r很小时，即控制的价值在性能指标中不太重要,状态x(t)（比重大）将迅速被控制到零值; 当r很大时，即控制的价值较重要,状态x(t)（比重小）将由于控制量投入得小, 则衰减得很慢。 图8 不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹 最优控制的存在性与唯一性(10/13) 图8(b)表示以r为参数的一组最优控制u(t)的曲线。 可见随着r的减小,在控制区间[0,1]的开始阶段, 控制量u(t)增大 当 r→0 时,控制将逐渐变成在 t=0 时刻的脉冲信号 图8 不同 r 值最优状态调节器各变量变化轨迹 最优控制的存在性与唯一性(11/13) 图8(c)表示以r为参数时,黎卡提微分方程的解p(t)的一组曲线。 可见随着r的减小,在控制区间[0,1]的开始阶段,p(t)几乎为一常数; 当r很小时, p(t)仅在控制区间的最后阶段才呈现时变的性质。 图8 不同r值最优状态调节器各变量变化轨迹 最优控制的存在性与唯一性(12/13) 图9表示在 a=-1, q = r =1, f 取0或1的情况下,以tf为参数时黎卡提微分方程的解 p(t) 的一组曲线。 这些曲线表明, 随tf的增长,函数p(t)的前面部分趋于同一个稳态值,其时变值仅在后面很小的时间段内呈现,而且该稳态值与末端条件无关。 图9 不同末端时刻p(t)曲线 这一事实可用如下数学关系式来说明。 最优控制的存在性与唯一性(13/13) 当a=-1, q=r=1，当 tf→?时, p(t)为一常数时, p(t)→0.414 由此可见, 只要 tf 足够大, 线性定常系统的最优状态调节器的时变状态反馈律可用定常状态反馈律近似, 其中矩阵 P(t) 用其稳态值代替。 定常状态调节器(1/12) 5.2 定常状态调节器 对于线性定常的被控系统,即便性能指标泛函中的矩阵Q(t)和R(t)为定常的,在末态时刻为有限时间(tf?)时, 其最优状态调节器的最优状态反馈律也是时变的 这使控制系统的结构变得复杂，为控制器的实施带来了相当大的困难 。 显然, 最优状态反馈律为时变的症结在于P(t)是时变的。 建立P(t)为定常矩阵的最优状态调节器问题的条件就是建立定常最优状态反馈律的条件。 注：以定常最优状态反馈律构成闭环系统, 既大大减少了控制系统实施的困难性,简化了系统的结构, 便于维护使用, 无论在理论上和工程上都具有较大价值。 定常状态调节器(2/12) 从例11的一阶线性定常系统的最优状态调节器问题可以看出,随着末态时刻 tf 的无限增长,黎卡提微分方程的解 p(t) 趋于定常,而最优状态反馈律也转化为定常的。