【名师一号】2017高考数学文（北师大版）一轮复习课件：5-4-3 数列的综合应用 Word版含解析.ppt

【例1】　已知数列{an}满足首项为a1＝2，an＋1＝2an(n∈N＋)。设bn＝3log2an－2(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝anbn。 (1)求证：数列{bn}为等差数列； 【解】　证明：由已知可得，an＝a1qn－1＝2n，bn＝3log22n－2， ∴bn＝3n－2。∴bn＋1－bn＝3。 ∴数列{bn}为等差数列，其中首项b1＝1，公差d＝3。 (2)求数列{cn}的前n项和Sn。 【规律方法】　(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列。 (2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q0)的正项等比数列，则{logabn}(a0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq。 变式训练1　已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项。 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； 解　由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d0)。 ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1。 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9， ∴数列{bn}的公比为3。∴bn＝3·3n－2＝3n－1。 【例2】　某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元。该企业2011年年底分红后的资金为1 000万元。 (1)求该企业2016年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元。 【解】　设an为(2011＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*， 则a1＝2×1 000－500＝1 500， a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)。 ∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)， 即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列。 ∴an－500＝1 000×2n－1。 ∴an＝1 000×2n－1＋500。 由an32 500，即2n－132，得n6， ∴该企业从2018年开始年底分红后的资金超过32 500万元。 【规律方法】　解决数列应用题应注意的问题 解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是Sn，特别是要弄清项数。 变式训练2　某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏。为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)。该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)。游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案。 (1)设闯过n(n∈N＋，且n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为An，Bn，Cn，试求出An，Bn，Cn的表达式； (2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？ 由于数列与函数、不等式等内容的关系密切，所以数列与函数、不等式等的综合问题是每年高考的重点，题型多为解答题。 角度一：数列与函数的交汇 1．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)。 (1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn； 【规律方法】　(1)数列与函数的综合一般体现在两个方面 ①以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系； ②数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题。 (2)数列与不等式相结合问题的处理方法 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等。总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了。 ⊙2种思想——函数思想与转化化归思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)。 (2)转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等。 ⊙3个注意点——数列与函数、不等式、解析几何相结合应注意的问题 (1)数列与解析几何结合时注意递推。 (2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩。 (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条