[首发]山西省孝义市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题（图片版）.doc

2015---2016年度孝义市高中二年级期末考试数学学科试题 文科数学参考答案 一．选择题(12×5=60) D； C； A； D ；B； C；C；A； A；B； D ；B 二．填空题(4×5=20) ； ； 垂心； 三．解答题 17.解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以， 由为锐角三角形得． （Ⅱ） ． 由为锐角三角形知， ， 所以．由此有， 所以，的取值范围为． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．因为第3，4，5组共有60名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3； 第4组：×6=2； 第5组：×6=1． 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；---------6分 （Ⅱ） 记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2）， （A2，A3），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种． 其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有： （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有7种 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．---------12分 19．解：（1）圆锥曲线的参数方程为（为参数）， 所以普通方程为：----------------------------------------3分 直线极坐标方程为：---6分 （2）， ---------------------------------12分 20．（本小题满分12分） 解: （1）因为平面，所以为在平面内的投影； 因为，由三垂线定理可知； （2）以A为原点，AB所在边为x轴，AD所在边为y轴，AA1所在边为z轴建立空间直角坐标系，则，所以，； 因为，，所以， 因为，所以，故，所以， 设为的法向量，则， 令，所以为的一个法向量； 因为，，所以 所以直线所成角的正弦值. 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得，所以 所以抛物线方程为 （Ⅱ）联立方程，设， 消去得 从而 有弦长公式得， 设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d＝＝， 又S△ABP＝|AB|·d，则d＝， ＝ |a－2|＝3 a＝5或a＝－1， 故点P的坐标为（5，0）和（－1，0）． 22.（本小题满分12分） 解:（Ⅰ） 依题意，的定义域为， . （ⅰ）若， 当时，，为增函数. (ⅱ)若, 恒成立，故当时，为增函数. （ⅲ）若, 当时，，为增函数； 当时，，为增函数. (ⅳ)若, 当时，，为增函数； 当时，，为增函数. 综上所述， 当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,. ………6分 （Ⅱ）依题意，若过两点的直线的斜率恒大于，则有， 当时，，即； 当时，，即. 设函数，若对于两个不相等的正数，恒成立， 则函数在恒为增函数， 即在上，恒成立. 解法一：(1)当时，当，，说明此时不恒成立； 或，说明此时不恒成立； (2)当时，在上恒成立； (3)当时，若恒成立，而当时，， （ 当且仅当时取等号）即成立，即，解得，即，显然符合题意. 综上所述，时，过两点的直线的斜率恒大于. 解法二：在上，恒成立，等价于，在成立，即在成立. （ⅰ）当时，上式显然满足； （ⅱ）当时，上式等价于，设，此时为减函数， ，只需； （ⅲ）当时，上式等价于，设，则 ，当时，（当且仅当时等号成立）. 则此时. 在上，当时，成立. 过两点的直线的斜率恒大于. 解法三： 在上，恒成立，等价于在恒成立，则有 （1）时，即，所以 或（2）时，需且，即显然不成立. 综上所述，. ………………12分