第8章空间实体单元概述.ppt

与平面问题中???只含有3个应变分量不同，这里???含有4个应变分量。将u, w的表达代入式（8-51），得 （8-52） 式中 （8-53） 其中 （8-54） 由式（8-52）～（8-54）可见，矩阵中含有变量r, z，因此它不是常数矩阵。即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元。 3、应力矩阵 根据弹性力学理论，空间轴对称问题的应力-应变关系为 （8-55） 式中[D]是轴对称问题的弹性矩阵 * 第8章 空间实体单元 8.1 概述 许多工程实际问题属于空间问题。用有限元法分析空间问题和分析平面问题在原理、思路和解题方法完全相同，基本未知量仍然是节点位移。不同的是单元具有三维特点。节点位移在x、y、z三个坐标轴方向都有分量：u、v、w。它的基本方程比平面问题要多，有3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。分析方法仍然是先进行单元分析，再进行系统分析，最后求解系统的节点平衡方程，解算内力或应力。 空间离散化后的单元模型主要有：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元，如图8-1所示。 (a) (b) (c) (d) 图8-1 空间实体单元模型 (a) 图为4节点四面体单元，是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应力单元。类似平面问题三节点三角形单元进行分析。 ？ (b)图w为长方体单元，可以类似平面四节点矩形单元进行分析。 (c)图为任意八节点六面体单元，可以类似平面四节点任意四边形等参元进行分析。 (d)图为20节点曲边六面体单元，可以类似平面八节点曲边四边形等参元进行分析 。 8.2 4节点四面体常应变单元 1、位移模式 如图8-2所示，取四面体的4个顶点 i,j,m,n 为节点。每一个节点有3个位移分量，即 （8-1） 单元节点位移向量为 （8-2） 与平面问题式（2-12）类似，假定单元内一点的位移分量为坐标的线性函数 （8-3） 将式（8-3）的第1式应用于4个结点，则 i j m n x y z 图 8-2 （8-4） 由此可解出a1～a4，再代回到式（8-3）的第1式，与式（2-19）的第1式类似，有 （8-5） 式中形函数具有与式（2-18）类似的形式： （8-6） 其中 （8-7） （8-8） 在式（8-8）中，V为四面体的体积。为使其计算值不为负，单元的节点（i,j,m,n）编号次序应遵循右手法则。(p4) 采用同样的方法，可得 （8-9） （8-10） 将式（8-5）、（8-9）（8-10）统一用矩阵式表示，可得与平面问题式（2-20）类似的公式 （8-11） 式中[N]为单元形函数矩阵，其维数为3×12。进一步可写为与平面问题式（2-21）、（2-22）类似的子块形式 （8-12） 其中，子矩阵 （8-13） 式中，I为3阶单位矩阵。 2、应变矩阵 在空间问题中，每点有6个应变分量。几何方程为： （8-14） 将式（8-11）～（8-13）和（8-6）代入上式，得 （8-15） 式中 （8-16） 上式（8-15）、（8-16）与平面问题式（2-24）～（2-26）类似。与平面问题三节点三角形单元相同，在四节点四面体单元中，[B]的元素都是常量，因此是常应变单元。 2、应力矩阵 三维问题的应力应变关系也可写为式（2-8）的矩阵形式 （8-17） 与平面问题不同，这里???和???分别由6个分量组成，弹性矩阵[D]是一个6×6的矩阵： （8-18） （8-19） （8-20） 将式（8-20）所表示的[D]和式（8-15）、（8-16）所表示的[B]代入式（8-22），并将[S]定成分块矩阵的形式，有 将式（8-15）代入式（8-17），得 （8-21） 应力矩阵[S]为 （8-22） 由于[D]、[B]都是常数矩阵，因此应力矩阵[S]也是常数矩阵。也就是说，单元中的应力分量也是常数。 （8-23） 式中 （8-24） 其中 （8-25） 3、单元刚度矩阵 仿照平面问题中的推导，可得单元平衡方程 （8-26） 单元刚度矩阵具有与式（2-33）类似的形式 （8-27） 式中，[k]是一个12×12的矩阵。由于[B]、[D]都是常数矩阵，所以[k]也是一个常量矩阵。并且 （8-28） 写成分块矩阵的形式，有 （8-29） 式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵 （8-30） 4、等价节点力向量 式（8-26）中的单元等价节点力也包括体积力、表面力、集中力几部分。体积力与表面力的计算公式与平面三角形单元公式（2-36）、（2-37）类似： （8-31） （8-32） 对于简单情形，也可采用静