第5节子群汇编.ppt

第5节 有限群、子群 5.1 有限群的定义及性质 5.2 子群与生成子群 子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群 子群 定义2.1 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且H?G，则称H是G的真子群，记作H(G). 子群的性质 性质2.1 设G是群， H≤G，则H的单位元必是G单位 元；H的元素a在H中的逆元也是a在G中的逆元. 子群的判定 定理2.1（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群 当且仅当 (1) ?a,b∈H有ab∈H (2) ?a∈H有a?1∈H. 子群判定定理2 定理2.2 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当 ?a,b∈H有ab?1∈H.? 子群判定定理3 定理2.3 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有 限子集，则H是G的子群当且仅当 ?a,b∈H有ab∈H. 典型子群的实例:中心C 定义2.2 设G为群,令 C={a| a∈G∧?x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心. 典型子群的实例:生成子群 定义2.3 设G为群，M是G的非空子集，G的所有包含 M的子群的交集称为由 M 生成的子群，记作(M). 典型子群的实例:换位子群 定义2.4 设G为群，a和b是G的任意两个元素， aba-1b-1称为a与b的换位子。 G的所有换位子的集合所生成的子群，称为G的 换位子群。 练习1 分析： 证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二. 证明的步骤是： 验证 H 非空 任取 x, y?H，证明xy?1?H 总 结 主要内容 子群的判别定理 * 近世代数 有限群的定义及性质 子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群 定义1.1 设G是一个非空有限集合， “°”是G上的二 元代数运算，称为乘法。如果下列两个条件成立， 则称G关于乘法“°”作成一个有限群. (1) 乘法“°”满足结合律； (2)乘法“°”满足(左、右)消去律. 性质1.1 有限群的每个元素的阶均为有限且不超过群 的阶。 问题：一个无限集及其上的二元运算若满足上述两 个条件能作成一个群吗？ 考虑(Z\{0},*) 例如: nZ (n是自然数) 是整数加群(Z,+) 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群. 对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为 G的平凡子群.? 性质2.2 设G是群，H,K是G的子群，则 (1) H∩K也是G的子群；进而G任意多个子群的交集 还是G的子群. (2) H∪K是G的子群当且仅当 H?K 或 K?H. (3) 任一群不能是其两个真子群的并集. 证 必要性是显然的. 为证明充分性，只需证明e∈H. 因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a?1∈H，根据条件(1) aa?1∈H，即e∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa?1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea?1∈H，即a?1∈H. 任取a,b∈H，知b?1∈H. 再利用给定条件得 a(b?1) ?1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a?1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a?1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S?H. 由于H是有穷集，必有ai = aj（ij）. 根据G中的消去律得 aj?i = e，由a ≠ e可知 j?i1， 由此得  a j?i?1a = e 和 a a j?i?1 = e 从而证明了a?1 = a j?i?1∈H. 证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明 ab?1与G中所有的元素都可交换. ?x∈G，有 (ab?1)x = ab?1x = ab?1(x?1)?1 = a(x?1b)?1 = a(bx?1)?1 = a(xb?1) = (ax?1)b?1 = (xa)b?1 = x(ab?1) 由判定定理二可知C≤G. 注：对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可 交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它 的中心是{e}. 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的子 群，称为由a 生成的子群，记作(a). 实例： (