第9讲分离变量法-电工概述.ppt

第九讲 分离变量法 电磁场与电磁波 电子工程学院 陈其科 第九讲 分离变量法 一、分离变量法解题的基本原理 1、将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个只含一个变量的函数的乘积，进而把偏微分方程分解成n个常微分方程； 2、求出分解后的各常微分方程的通解，并将它们线性叠加起来，得到待求函数级数形式通解； 3、并利用给定的边界条件确定待定常数。 　分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,属于解析法的一种，可以给出解的精确表达式。　 　分离变量法的理论依据：惟一性定理 　分离变量法解题的基本思路： 一、分离变量法解题的基本原理 偏微分方程 分离变量法解题的基本思路 分离变量法解题的步骤 若干个常微分方程 求常微分方程的通解 偏微分方程的级数形式解 线性叠加 边界条件 确定级数形式解的待定常数 变量分离 建立适当的坐标系 分析边界条件 得到通解 确定待定常数 二、拉普拉斯方程的通解 1、直角坐标系 O a b x y O a b x y 问题： 二、拉普拉斯方程的通解 1、直角坐标系 分离变量过程： 齐次常微分方程 令 代入泛定方程： 分离常数(待定) 注意：分离常数取 由齐次边界条件所决定 取 取 二、拉普拉斯方程的通解 1、直角坐标系 或 O a b x y O a b x y 方程通解为： 二、拉普拉斯方程的通解 2、极坐标系下（与z无关的情况，即无穷长圆柱问题） 令 (欧拉方程） 特征值 (待求) 通解为： 分离变量过程： 二、拉普拉斯方程的通解 3、球坐标系下 分离变量过程： 令 ，代入方程分离变量得 连带勒让德方程 欧拉方程 二、拉普拉斯方程的通解 3、球坐标系下 方程通解为： 对于轴对称问题， ，方程通解为： 三、例题 【例1】如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为U，其余三面接地，求导体槽内电位分布。 解：写出定解问题 其通解形式为： 三、例题 由条件（4） 将u在（0，a)区间展开为 傅立叶级数 （续前） 课堂练习 例3.6.2 如图所示无限长矩形槽，求槽内空间的电位分布。 解：电位函数满足边界条件： 【例2】 均匀外电场 中，有一半径为 a 的无限长导体圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求导体圆柱外的电位函数和电场强度。 x y a E0 o P(ρ,? ) ① 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 ② 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 三、例题 根据② ，得 再由边界条件①，可求得 x y a E0 电场线 等位面 ? ? ? ? ? ? ? ? （续上例）通解为 自学例题 3.6.3 （教材P155~156) 三、例题 【例3】 在半径为a、介电常数为? 的介质球外，有一点电荷q，距球心为d，如图所示。试求介质球内、外的电位。 解：电位由点电荷产生电位与极化电荷产生电位叠加而成。极化电荷在球内、外作用不同。 三、例题 z x ? a ?0 q d r R P （续上例） 三、例题 利用电位边界条件确定系数An、Bn （1） （2） （续上例） 三、例题 由此可得： 作 业 3.21 , 3.23 , 3.26, 3.31 第九讲 分离变量法