第9章_积分变换法概述.ppt

* 用积分变换求解定解问题的步骤为： 第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换； 对于自变量在（-∞，+ ∞ ） 内变化的定解问题（如无界域 的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在 半无界区域内变化 的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换． 第九章 积分变换法 第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程； 第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解 条件； 第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解． 用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分． 因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很 适用的求解方法．本章首先学习傅里叶变换，再通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式． 本章重点掌握傅里叶积分变换法解定解问题 第一节 傅里叶变换 一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数 傅里叶级数的复数形式（指数形式）： 二、傅里叶积分和傅里叶积分定理 从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡： 三、傅里叶变换的定义 四、傅里叶变换的性质 实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换, 则绝大部分的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出. 卷积的简单性质： 第二节 傅里叶变换法 应用范围：求解无界区域的定解问题 用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤： （1）对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程； （2）求解像函数； （3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解（作反演）。 例1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出） 【解】 对方程及初始条件做傅立叶变换 简化表示为 对其它函数也作傅氏变换，即为 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题