第5章等参数单元汇编.ppt

形函数是局部坐标的函数，需要进行偏导数的变换。 根据复合函数的求导法则，有： 写成矩阵形式： 求逆，得： 其中，J称为雅可比（Jacobian)矩阵,J-1为雅可比矩阵的逆矩阵。 雅可比矩阵J和其逆阵J-1是容易求解的。式中m表示节点的数目，4节点、8节点、12节点等的等参数单元都可以运用。 由矩阵求逆的公式得： 将等参数单元坐标变换的关系式带入J中： 利用上述一系列关系，可以很方便地建立单元的几何矩阵、刚度矩阵和等效节点力。 应力 应力矩阵： 单元刚度矩阵 由虚功原理得： 写成分块矩阵，每个子阵都是2×2阶矩阵： 单元刚度矩阵尽管积分区域很简单，但被积函数却比较复杂，通常采用高斯积分法由计算机完成。 有限元分析 Finite Element Analysis 内容 1 自然坐标和插值函数 2 等参数单元概念 3 平面等参数单元 要求 理解：自然坐标，插值函数，等参数 单元概念 掌握：平面等参数单元分析流程 课后作业 推导平面等参数单元各矩阵 第5章 等参数单元 边界条件（约束条件）的处理 边界条件类型： a、已知某节点（物体某部分、某点）的位移； ui=const vi=const b、节点固定（常用） ui=0 vi=0 处理方法（两种） ⑴改变对应列行元素法（划1置0法） ⑵主元素乘大数法 回顾 应力的计算 求得各节点位移后，则对于各单元， {δ}e、[B]、[D]已知，根据 可求出三角形中各点的应力。 回顾 回顾 b)图 ?1=(??+??)/2 ?2=(??+??)/2 a)图 ?2=(??+??+??+??+??+??)/6 单元位移函数的选择原则 回顾 1. 位移模式必须能反映单元的刚体位移。 2. 位移模式必须能反映单元的常量应变。 3. 位移模式应尽可能反映位移的连续性 。 常采用“帕斯卡三角形”来选取位移模式代数多项式的形式。 回顾 第4章有限元分析的思路，十分严谨、明确，但是过于繁琐。对于常应变三角形单元还可行。 如二维8节点四边形，16个待定系数，人工几乎难以完成； 三维20节点单元，20×3个待定系数。 解决途径： 形函数是单元位移的插值函数，可以利用数学中的“插值函数”直接给出形函数。 一、自然坐标和插值函数 （局部）自然坐标 取2×2正方形（母单元）的两对边中点作为该正方形的局部坐标系，以（ξ，η）表示，并且规定ξ，η的坐标值有效取值范围在0到±1之间。 坐标值：在中心点（原点）：ξ=η=0； 正方形的各边：ξ=η=±1； 各角点：ξ=1或-1， η=1或-1； 正方形内部的任一点：由局部坐标来定义，ξ、η在±1之间，即P（ξ,η)。 任意四边形单元（子单元）：定义同上。 （局部）自然坐标 二者具有相互映射的关系。 自然坐标：这种基于四边形形状而定义的坐标系，是同任意四边形的自然形状相关的，故称之为“自然坐标”。 （局部）自然坐标 自然坐标：这种基于四边形形状而定义的坐标系，是同任意四边形的自然形状相关的，故称之为“自然坐标”。 如果在四边形的各边中点增加节点，即构成更高精度的单元。 曲边8节点四边形单元，相应的自然坐标ξ,η轴也呈曲线形。同样与母单元具有相互映射的关系。 以此类推，更多节点的任意四边形（12节点，16节点等）也具有同样的特性。 高精度四边形单元： 自然坐标的优点： 1.无论四边形的大小和形状如何，其坐标特性是相同的，因此可以用统一的表达式来描述，这有利于推导统一的有限元公式； 2.以自然坐标导出的有限元公式，有利于实现数值积分运算，这就克服了高精度单元的刚度矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的困难； 3.高精度（8节点及以上）单元，单元边界可以是直边或曲边，就可以更好地逼近实际物体复杂的几何形状。 若函数F(x)在m个点上有已知值，则可以用在这些点上的已知值构造一个不超过n=(m-1)阶的代数多项式来近似。该函数f(x)在所有已知点处均满足f(xi)=F(xi)。 记为： 拉格朗日插值 式中 称为n阶拉格朗日插值函数，也叫“拉格朗日乘子”，可由下式求得： 可简写为 上标 n 表示函数的幂次，下标 i 表示对应的已知点（或节点）。 1.一维拉格朗日插值 两点插值： 由于 高次的拉格朗日插值，均可由最简单的线性插值的某种组合来表示。 三点插值： 1.一维拉格朗日插值 如采用自然坐标系，取 则可以把