第五章_贝塞尔函数概述.docx

n阶第一类贝塞尔函数 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数， 第一类变形的贝塞尔函数 开尔文函数（或称汤姆孙函数）阶第一类开尔文（Kelvin） 第五章 贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 用分离变量法解这个问题，先令 代入方程（5.1）得 或 由此得到下面关于函数和的方程 （5.4） （5.5） 从（5.4）得 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。为了求出这个方程满足条件 （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 再令 ， 代入（5.7）并分离变量可得 （5.9） （5.10） 由于是单值函数，所以也必是单值得，因此应该是以为周期的周期函数，这就决定了只能等于如下的数： 对应于，有 （为常数） 以代入（5.10）得 （5.11） 这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是阶贝塞尔方程。 若再作代换 ， 并记 ， 则得 . 这是阶贝塞尔方程最常见的形式。 由条件（5.8）及温度是有限的，分别可得 （5.12） 因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在处的第一类边界条件，第二个条件是在处的自然边界条件，由于在处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。 §5.2 贝塞尔方程的求解 在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以表示自变量，以表示未知函数，则阶贝塞尔方程为 （5.13） 其中为任意实数或复数。我们仅限于为任意实数，且由于方程中的系数出现的项，所以在讨论时，不妨先假定。 设方程（5.13）有一个级数解，其形式为 ， （5.14） 其中常数和可以通过把和它的导数代入（5.13）来确定。 将（5.14）及其导数代入（5.13）后得 化简后写成 要上式为恒等式，必须各个幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°； 2°； 3°。 由1°得，代入2°得。先暂取，代入3°得 4°。 因为，由4°知，而都可以用表示，即 ， ， ， … . 由此知（5.14）的一般项为 是一个任意常数，让取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。把取作 这样选取可使一般项系数中2的次数与的次数相同，并可以运用下列恒等式： 使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成 （5.15） 这样就比较整齐、简单了。 以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解 用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数。记作 （5.16） 至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解。 当为正整数或零时，，故有 （5.17） 取时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解 （5.18） 比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把换成，即可得到（5.18）式。因此不论式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。 当不为整数时，这两个特解与是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为 （5.19） 其中为两个任意常数。 当然，在不为整数的情况，方