第五章5.1贝塞尔函数概述.ppt

* 附录： 函数的基本知识 (1) 定义 (2) 函数的递推公式 时，有 为正整数 特别的，当 (3) 当 时 * 第五章 贝塞尔函数 在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问 题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题， 从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就 是人们常说的特殊函数。 本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进 行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程 的解法及解的有关性质；最后再来介绍贝塞尔函数 在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。 * 5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数 一、贝塞尔方程的导出 在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。 下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。 设有半径为 的圆形薄盘， 上下两面绝热， 圆盘边界上的温度始终保持0度， 且初始温度 分布为已知， 求圆盘内的瞬时温度分布规律。 我们用 来表示时刻 处的温度函数。 圆盘上点 * 这个问题归结为求解下列定解问题： (2) (1) (3) 应用分离变量法求这个问题的解。 为此，令 代入方程(1)得 用 乘之，得 * 于是有 (2) (1) (3) (4) (5) 方程(4)的解为 由边界条件(2)有 (6) * (2) (1) (3) 为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解， (5) (6) 我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题 (7) (8) * (7) (8) 再令 代入方程(7)得 两端乘以 移项得 于是有 (9) (10) * (9) (10) 由于温度函数 是单值的， 所以 也必 是单值函数，即 求解常微分方程的边值问题 可得 * (9) (10) 将 代入方程(10)得 (11) 该方程叫做 阶贝塞尔方程。 由边界条件(8) 可知 另外，由于圆盘上的温度是有限的， 特别在圆心 处也应如此，由此可得 * 因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题 的固有值与固有函数。 若令 并记 (11) 将上式代入方程(11)可得 则 (12) 方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程， 它的解称为贝塞尔函数。 (有时称之为柱函数)。 * 二、贝塞尔函数 (12) 由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式 的广义幂级数解： (13) 其中 为常数， 下面来确定 为此，将(13)以及 带入方程(12) * (12) (13) 可得 * (12) (13) * (13) 比较上式两边系数则有 (14) (15) (16) 由于 从(14)可得 下面分三种情形讨论 * (13) (15) (16) 情形1 如果 不为整数(包括0)和半奇数， 先取 代入(15)得 代入(16)得 (17) 由(17)可知 * (13) (17) 另外 * 由于 是任意常数， 我们可以这样取值： 使一般项系数中 与 有相同的次数，并且同时 使分母简化。 为此取 利用递推公式 则一般项系数变为 将此系数表达式代回(13)中， (13) * (12) (13) 得到方程(12)的一个特解，记作 (18) 称为 阶第一类贝塞尔函数。 又由于 则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上 是绝对收敛的。 * (12) (13) 同理可得另外一个特解，记作 称为 阶第一类贝塞尔函数。 (19) 由于 所以 与 线性无关， 由齐次 线性常微分方程解的结构定理知，方程(12)的通 解为 其中 为两个任意常数。 (20) 称为 阶第一类贝塞尔函数。 与 线性无关， 再令 * (12) (20) (22) 如果在(20)中取 则得方程(12)的另一个与 线性无关的特解， 记作 (21) 因此方程(12)的通解可写成 称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。 * (13) (16) 情形2 如果 为整数(包括0)， 同样可得方程(12) 的两个特解 (18) (19) (12) * (18) (19) (23) 注意当 为整数时，利用 函数的递推公式 可得 从而特解之一(18) 可化为 而此时函数 与 线性相关。 * 事实上， 我们不妨设 为某正整数 当 时， 将是 (23) (19) 负整数与0， 对于这些值 为无穷大， 所以 令 得 * (23) 则化简得 与 当 为整数时是 这就说明了 线性相关的。 为了求出贝塞尔方程的通解，我们 还需要求出一个与 线性无关的特解。 * 而当 为整数时， 不为整数。 与 当 不为整数时， 其中 为整数， (21) 由(21)式知， 是 由于 于是(21)式的右端成为 形式的不定型， 此时 我们很自然地定义 而当 为整数时， 与 当 不为整数时， 由(21)式知， 是 由于 为整数时， 与 当 不为整数时， 由(21)式知， 是 线性无关的， * 应用洛必达法则