第5章离散傅立叶变换与快速算法1(DFT2)汇编.ppt

两条结论 时域周期?频域离散； 时域离散?频域周期 两个定理 DFS是主值区间序列的DTFT的频域采样 任意序列的频域采样所重构的时域序列是原序列的周期延拓 * 同理不难证明： * * 利用时域与频域的对偶性，可以证明： 若： ， 皆为N点有限长序列，并且y(n)为其相乘序列： 则有： * 时域离散信号的圆周卷积和在频域上相当于两序列的DFT的相乘，因而可以采用DFT的快速算法（FFT）来实现。与序列的线性卷积和相比，计算速度可以大大加快。 但是，一般实际问题（例如信号通过线性移不变系统）都是线性卷积运算，并且作卷积和的两个序列一般情况下长度不等。 如果输入信号以及系统的单位冲激响应都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算呢？下面来加以讨论。 * 设 是 点的有限长序列（0≤ ≤ ）, 是 点的有限长序列（0≤ ≤ ）。 我们先看 与 的线性卷积： 的非零区间为0≤m≤ ， 的非零区间为0≤n－m≤ ，将两个不等式相加，得到其卷积和 的非零区间: 0≤n≤ ，所以 是 点有限长序列。 * 其次，我们来看 与 L点的圆周卷积和，因此需要将 和 都补零成为L点的序列，故令： 则L点圆周卷积和为： L点圆周卷积是圆周卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。 圆周卷积无失真代表圆周卷积的条件是延拓周期L必须满足： * * * 线性相关定义为： 相关与卷积和类似 缺少 “翻褶”过程； 与卷积和不同的是相关不满足交换律。 自相关函数： 五、圆周相关 * 相关函数的频谱 * 上述推导说明： 互相关函数的频谱只包含两个信号共有频率成分。 自相关函数的傅里叶变换是信号的功率谱，是信号谱分析建模的基础。 与圆周卷积和类似，由于DFT隐含的周期性，存在圆周相关的概念，它不同于线性相关。 * 借助线性相关性质假设： 可以证明： 由此，引出圆周相关的定义为： * * 实际信号处理中主要是为了实现线性相关运算，从而实现对信号的分析； 由于圆周相关可以利用FFT快速实现，因而大部分情况下利用圆周相关来实现线性相关； 与卷积类似，L点圆周相关能代表线性相关的条件是： * 作业 8.9 8.14 8.15 8.16 8.24 * 5.1.3 离散傅立叶变换(DFT) 周期序列和有限长序列相互对应 DFS对应主值区间有限长序列的DTFT的频域采样，恰好满足信号频谱分析的需要 DFS及IDFS求和是只限定在主值区间进行，完全适用有限长序列变换。 * 一、离散傅里叶变换（DFT） 1、DFT隐含有周期性 2、有限长序列DFT是其本身的DTFT(等长)频域采样 * 例题：矩形脉冲的DFT * 二、DFT性质 DFT隐含有周期性 以下讨论的序列都是N点有限长序列 * DFT的对偶性 * * 1、线性 若两个有限长序列的点数不等，则需要将短序列补零后作N点DFT再进行相加,其中： N=max(N1,N2) * 圆周移位： 是指有限长序列以它的长度N为周期，将其延拓成周期序列，将周期序列加以移位，然后再取主值区间[0，N-1]上的序列值。 圆周移位特性： 2、圆周（循环）移位 * * * 通过上面得证明过程也看到了离散傅立叶级数(DFS)的移位性质： 该性质表明：有限长序列的圆周移位仅在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相位 ，不影响频谱的幅度特性。 * 同样，利用频域与时域的对偶关系，可以证明： 频域圆周移位导致时间序列的调制特性，也就是说时域序列的调制等效于频域的圆周移位。由此式可以得到： 频域圆周移位 * * 3、共轭对称性 任一序列都可表示成共轭对称分量与共轭反对称分量之和。 在讨论有限长序列的离散傅立叶变换时，不能直接采用其定义.因为对于N点的序列，按定义给出的共轭对称分对称分量与共轭反对称分量都是（2N-1）点。 从周期序列的共轭对称定义入手，导出有限长序列的圆周共轭 * 有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量分别定义为其周期延拓序列相应共轭分量的主值区间 * 相应于上面的概念，若 为共轭对称序列，则 称为圆周共轭对称序列，此时： 同理，若 为共轭反对称序列，则 称为圆周共轭反对称序列，此时满足： 注 共轭对称是以零点为中心考察对称的性质， 圆周共轭由于是针对[0，N-1]上的有限长序列引入的，其对称中心变为 。 * （始终假设 ）： （1）