电磁场与电磁波性学习—有限差分方法概述.pptx

研究型学习报告利用有限差分法解决静电场第一类边值问题马论分析理论分析有限差分法——拉普拉斯方程的离散化将区域D划分为正方形网格，在节点处代入导数公式，可得将其带入拉普拉斯方程，可得方程的差分格式为理论分析差分方程组的解——Jacobi迭代法分量格式向量格式其中理论分析差分方程组的解——Gauss-Seidel迭代法分量形式向量形式其中理论分析差分方程组的解——SuccessiveOverRelaxation迭代法分量形式向量形式其中参考文献给出，最佳松弛因子的计算公式为理论分析计算机仿真问题描述如图所示，有一长方形的导体槽，a=20，b=5，设槽的长度为无限长，槽上有两块与槽绝缘的盖板，电位分别为100V和50V，其它板电位为0V，求槽内的电位分布.计算机仿真获取系数矩阵%get_coeeficient_matrix_function%输入未知数矩阵的行数m及列数n,根据有限差分法返回方程的系数矩阵及常数列向量function[A,b]=get_coefficient_matrix_function(m,n)B=zeros(m*n,m*n);b=zeros(m*n,1);rup=50;rlw=100;rlf=0;rrt=0;i=1;j=1;k=(i-1)*n+j;%将矩阵个数的未知数转换为自然数排列B(k,k+1)=1;B(k,k+n)=1;b(k,1)=rup+rlf;forj=2:n-1k=(i-1)*n+j;B(k,k-1)=1;B(k,k+1)=1;B(k,k+n)=1;b(k,1)=rup;endj=n;k=(i-1)*n+j;B(k,k-1)=1;B(k,k+n)=1;b(k,1)=rup+rlf;%第一行完毕计算机仿真获取系数矩阵B=0.25.*B;%得到Jacobi迭代矩阵fori=1:m*nB(i,i)=-1;endA=-B;%得到系数矩阵 b=b/4;%A=(A-D)+DD=zeros(m*n,m*n);%A所对应的对角阵fori=1:m*nD(i,i)=A(i,i);endf=D*b;b=f;计算机仿真Gauss-Seidel迭代法h=input(所期望步长:);col_h=20/h+1;col_x=col_h-2;line_h=5/h+1;line_x=line_h-2;u=zeros(line_h,col_h);%创建符合步长要求的矩阵存放各标志点电位值 forj=2:col_h-1fori=2:line_h-1u(i,j)=50+50/line_h*(i-1);%初始条件按内部线性变化确定end%初始条件对结果影响不大，但影响循环次数end%完成差分方程初始条件的设定[A,b]=get_coefficient_matrix_function(line_x,col_x);%使用自定义函数获得方程组系数矩阵及常数列向量[mat,flag]=chol(A);%检查A是否正正定ifflag==0disp(收敛)elsedisp(不收敛)end%若A正定，可以使用Gauss-Seidel迭代法求解方程计算机仿真whileflag==0%在迭代法收敛的条件下进入循环while(t1e-6)n=n+1;t=0;%必须将误差控制项置零fori=2:line_h-1;forj=2:col_h-1;v(i,j)=(u(i,j+1)+u(i+1,j)+v(i-1,j)+v(i,j-1))/4;%Seidel迭代法iftabs(v(i,j)-u(i,j))t=abs(v(i,j)-u(i,j));%用无穷大范数作为误差控制endendendu=v;endend计算机仿真SuccessiveOverRelaxation迭代法w_sor=2/(1+sin(pi*h));%计算最佳松弛因子w_sor;%打印松弛因子以备查验if(1w_sor)(w_sor2)%在迭代法收敛的条件下进入循环v(i,j)=u(i,j)+(u(i,j+1)+u(i+1,j)+v(i-1,j)+v(i,j-1)-4*u(i,j))*w_sor/4;%SOR迭代法分量形式计算机仿真仿真结果计算机仿真程序代码fori=2:line_h-1forj=2:col_h-1x=(j-1)*h;y=(i-1)*h;%将矩阵位置转化为直角坐标phi=0;form=1:2:MCm=200/(m*pi);Bm=(400/(m*pi)-Cm*cosh(m*pi/4))/sinh(m*pi/4);phi_i=(Bm*sinh(m*pi*y/20)+Cm*cosh(m*pi*y/20))*sin(m*pi*x/20); phi=phi+phi_i;%phi为解析解表达式，手工算出endu_analysis(i,j)=phi;error(i,j)=u_analy