第5章正态分布汇编.ppt

第五章 正态分布与自然指数分布族 §5.1 正态分布及其密度函数和分布函数 标准正态分布N(0,1) 定义5.1 若随机变量X的概率密度函数为： 密度函数的验证 一般正态分布 定义5.2 是任意常数，若随机变量X有 定理5.1 正态分布密度函数的图形性质 例5.2 例 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布N(72, ?2),且96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率. §5.2 正态分布的数字特征 定理5.2 设随机变量 续 由一般正态分布定义，有 正态分布的线性性质 定理5.3 正态分布的可加性 独立同分布情形的一般结论 例5.5(1) 令Y表示100名女子身高超过1.7的人数,则Y服从什么分布？ 二维正态的边缘分布是正态 定理5.6 若 二维正态分布独立与不相关等价 在第4章中讲到，独立→不相关 但是不相关→独立 对二维正态分布来说，独立与不相关等价 定理5.8 则 可见, 二维正态分布前4个参数分别表示 随机变量X,Y的期望和方差 . 下面说明参数r的统计意义. 二维正态分布的边缘密度 现计算: 需对指数部分进行整理 对y进行配方,整理成关于y的完全平方式: 二维正态分布的边缘密度 利用: u 二维正态分布的边缘密度 即: 二维正态的边缘仍是正态 综上,我们得到结论: 结论1 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，且两个边缘分布中的参数与二维正态分布的参数r无关. 结论2 随机变量(X,Y)的联合密度一般不能由其两个边缘密度唯一确定. 即使X,Y都是服从正态分布的随机变量, (X,Y)不一定是服从二维正态分布. r表示X与Y的相关系数 详见Page 146 定理5.7 若 则X与Y 相互独立的充要条件是 r=0 * * 正态分布是实践中应用最为广泛, 在理论上研究最多的分布之一, 故它在概率统计中占有特别重要的地位. 正态分布的重要性 正态分布是自然界及工程技术中最常 见的分布之一，大量的随机现象都是 服从或近似服从正态分布的． (2)正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的． 正态分布可以作为许多分布的近似分布. 则称X服从标准正态分布,记为 标准正态随机变量X的分布函数为： 标准正态分布函数的性质 O Φ(x) 1 标准正态分布函数的图像 x 则称X服从参数为 的正态分布，记为 则 (1) X的分布函数为 证明： 定理5.1 续 (3) X的密度函数为 (1)单峰对称: 密度曲线关于直线x=?对称 即 f(? +x)=f(? -x)，x∈(-∞,+∞) (2) x= ?时, f(x)取得最大值 f(?)= (3) x= ?±σ处 有拐点 (4) 若? 固定, 而改变? 的值, 则 f(x)的图 形沿x轴平行移动, 但不改变其形状, 所以? 叫做位置参数 (5) 若? 固定, 而改变? 的值, 则? 越大, 曲 线越平坦, ? 越小, 曲线越陡峭, 所以? 叫做刻度参数 (6) 曲线f(x)以x轴为渐近线 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 x f (x) 解： ?=72 从而 查表可得 ?=12 故所求概率为 思考 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包.甲公司要求投资2.8亿元,但预算外开支波动较大,设实际费用X~N(2.8,0.52).乙公司要求投资3亿元,但预算外开支波动较小,设实际费用Y~N(3,0.22).现假定工程资方掌握资金(1)3亿元,(2)3.4亿元,为了在这两种情况下,