第6章大数定理和中心极限定理汇编.ppt

书面作业：P103~104 6-1 6-2 6-5 6-7 6-9 作业评讲： 1. 2. 3. 4. 5. 8. 10. 例题讲解 一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为 则下列各式正确的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解 虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.5?0.5+0.5?0.5=0.5 选答案(2) 二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X, Y必有 。 解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X,Y)=0 ∴ X,Y不相关。 三、设随机变量X和?独立同分布, 且 P(X=k)=1/3, k=1,2,3 又设X=max(X,?),Y=min(X,?)。(1)试写出(X,Y)的 联合分布律；(2)求E(X)。 解 (1) 由于X=1,2,3, ?=1,2,3 所以，X=1,2,3； Y=1,2,3 当i＞j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,?)=i,min(X,?)=j) =P(X=i,?=j)+P(X=j,?=i) =P(X=i)P(?=j)+P(X=j)P(?=i) =(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,?)=i,min(X,?)=j) =P(X=i,?=i)=P(X=i)P(?=i)=(1/3)(1/3)=1/9 当i＜j时，P(X=i, Y=j)=P(max(X,?)=i, min(X,?)=j)=0 (X,Y)的联合概率分布律： (2) X Y 1 2 3 1 1/9 0 0 2 2/9 1/9 0 3 2/9 2/9 1/9 四、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, X与Y的相关系数r=-0.5 由契比雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满足不等式 P{|X+Y|≥6}≤c)。 解 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2r =1+4+2?(-0.5)?1?2=3 P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62 P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12 c=1/12 五、设某班车起点站上人数X服从参数为?的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求 (1) (X,Y)的联合分布律； (2) 求Y的分布律 解 (1) X～P(?), 当X=n时，Y～B(n,p) P(Y=k|X=n)= k=0,1,2,…,n 当nk时，P(X=n,Y=k)=0 当n≥k时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n) (X,Y)的联合分布律为： X=n=0,1,2,3,… Y=k=0,1,2,3,… (2) 六、设Xn～B(n, p). (0p1, n=1,2,…)则对任意实数x，有 解 七、(习题5-2) 设X服从几何分布 P(X=k)=pqk ( k=0,1,2,… 0p1, q=1-p ) 求EX, DX 解 八、(习题5-5) 证明：当t=EX时，g(t)=E(X-t)2最小，这个最小值是DX 解 g(t)=E(X-t)2 = E(X2-2Xt+t2) = EX2-2tEX+E(