多尺度几何概述.docx

多尺度几何分析详解 一、从小波分析到多尺度几何分析 ? ? ? ??小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。 ? ? ? ??由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。在尺度j，小波支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。我们希望的这种变换就是“多尺度几何分析”。 ? ? ? ??图像的多尺度几何分析方法分为自适应和非自适应两类，自适应的方法一般先进行边缘检测再利用边缘信息对原函数进行最优表示，实际上是边缘检测和图像表示方法的结合，此类方法以Bandelet和Wdgelet为代表；非自适应的方法并不要先验地知道图像本身的几何特征，而是直接将图像在一组固定的基或框架上进行分解，这就摆脱了对图像自身结构的依赖，其代表为Ridgelet、Curvelet和Contourlet变换。 二、几种多尺度几何分析 1、脊波(Ridgelet)变换 ? ? ? ??脊波(Ridgelet)理论由EmmanuelJ Candès于1998年在其博士论文中提出，这是一种非自适应的高维函数表示方法，具有方向选择和识别能力，可以更有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。脊波变换首先对图像进行Radon变换，即把图像中的一维奇异性比如图像中的直线映射成Randon域的一个点，然后用一维小波进行奇异性的检测，从而有效地解决了小波变换在处理二维图像时的问题。然而自然图像中的边缘线条以曲线居多，对整幅图像进行Ridgelet分析并不十分有效。为了解决含曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题，1999年，Candes又提出了单尺度脊波(MonoscaleRidgelet)变换，并给出了其构建方法。另一种方法是对图像进行分块，使每个分块中的线条都近似直线，再对每个分块进行Ridgelet变换，这就是多尺度Ridgelet。脊波变换对于具有直线奇异的多变量函数有良好的逼近性能，也就是说对于纹理（线奇异性）丰富的图像，Ridgelet可以获得比小波更加稀疏的表示；但是对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能只相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。 2、曲波(Curvelet)变换 ? ? ? ??由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Candès和Donoho于1999年在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换，即第一代Curvelet变换中的Curvelet99；?2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。第一代Curvelet变换实质上由Ridgelet理论衍生而来，是基于Ridgelet变换理论、多尺度Ridgelet变换理论和带通滤波器理论的一种变换。单尺度脊波变换的基本尺度是固定的，而Curvelet变换则不然，其在所有可能的尺度上进行分解，实际上Curvelet变换是由一种特殊的滤波过程和多尺度脊波变换(Multiscale Ridgelet Transform)组合而成：首先对图像进行子带分解；