二次函数压轴3概述.docx

试卷第 =page 198 198页，总 =sectionpages 198 198页 试卷第 =page 197 197页，总 =sectionpages 198 198页 二次函数压轴题（3） 评卷人得分一、解答题（题型注释）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式． （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D． ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变． 当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号） 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①点P（，）时，△PDE的周长最大；②当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解 答即可； （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标； ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴， 解得， 所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （2）①∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴OA=OB=3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45°， ∵PF⊥x轴， ∴∠AEF=90°﹣45°=45°， 又∵PD⊥AB， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴PD越大，△PDE的周长越大， 易得直线AB的解析式为y=x+3， 设与AB平行的直线解析式为y=x+m， 联立， 消掉y得，x2+3x+m﹣3=0， 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0， 即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长， 此时x=，y=+=， ∴点P（，）时，△PDE的周长最大； ②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=， （i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q， 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°， ∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°， ∴∠APF=∠QPM， ∵在△APF和△MPQ中， ， ∴△APF≌△MPQ（AAS）， ∴PF=PQ， 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n， 即PF=﹣1﹣n， ∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上， ∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n， 整理得，n2+n﹣4=0， 解得n1=（舍去），n2=， ﹣1﹣n=﹣1﹣=， 所以，点P的坐标为（，）； （ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q， ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°， ∴∠FPA=∠QAN， 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN， ∴△APF≌△NAQ， ∴PF=AQ， 设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3）， 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2， 解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1， 此时点P坐标为（﹣﹣1，2）． 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）． 考点：二次函数综合题． 2．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三点． （1）求抛物线的解