二次函数知识点概述.docx

二次函数总结 一、 二次函数的概念及图象特征 二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数． 与y轴的交点为（0，c），通过配方可写成， 它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。 二、二次函数图像的性质 当a0时，抛物线开口向上，并且向上无限伸展；对称轴为，顶点坐标为。 ⑵当x＝时，函数有最小值 　当x＜时，y随x的增大而减小； 当x＞时，y随x的增大而增大．当a 0时⑴开口向下，并且向下无限伸展； 对称轴为，顶点坐标为． ⑵当x＝时，函数有最大值； 　当x＜时，y随x的增大而增大； 当x＞时，y随x的增大而减小 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 画二次函数的图像主要确定其开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。 三、 二次函数图象的平移规律 抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论． 平移步骤： （1）将抛物线的解析式转化成顶点式：，确定其顶点坐标是， （2）保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到处， 注：要先将二次函数配凑成顶点式。 平移规律：上加下减，左加右减。 四、二次函数与x轴的交点个数的确定 重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位． 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.当时二次函数的顶点在x轴的下方，函数的最小值小于0，当时，二次函数的顶点在x轴的上方，函数最大值大于0. ② 当时，图象与轴只有一个交点；此时顶点在x轴上，顶点坐标为 函数的最值为0. ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有，此时函数顶点在轴的上方； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有此时函数顶点在轴的下方； 因此，在求解一元二次方程的解得时候，有时可能会与二次函数联系。五、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 六、 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二