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第六章 二次型与二次曲面
二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用． 例如在三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次曲面的分类.
本章主要讨论：
1． 二次型的理论；
2． 空间曲面与曲线；
3. 二次曲面的分类．
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6.1 实二次型
6.1.1 二次型的定义及矩阵表示
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6.2 化实二次型为标准形
1．标准二次型：只含有平方项的二次型
称为 元二次型的一个标准形(标准形不惟一).
设线性变换为 (1)
令 (2)
则（1）可写为 . 但 不惟一.
当 是可逆阵时. （1）式是可逆线性变换.
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注1º 的秩 的标准形中系数不为0的平方项的个数.
2º 任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一，有两种方法化标准形.
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6.2.3 实二次型的规范形
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则
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的特征值全大于
实可逆矩阵 ，使得 .
的各阶顺序主子式全
与E合同.
实二次型 f 正定 的正惯性指数
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注：1.当A正定时，可证 正定.
2. f 负定 正定,
的奇数阶主子式 , 偶数阶主子式 .
重点与难点：在实二次型（或实对称阵）中，合同是一种分类的办法，正定性是另一种分类的方法，重点是正定二次型（或正定矩阵）.
注：说 f 或 A 是正定的，已经包涵了A 实对称；
A可逆；
利用 A 的正定性，来证明其他的问题，则是一个难点，要具体问题具体分析.
1．正定阵（正定二次型的判断）
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解: 二次型的对应矩阵为:
A和 2A具有相同的正定性，故判定2A 的正定性即可（将分数运算化成参数运算）.
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A和 2A具有相同的正定性，故判定2A 的正定性即可（将分数运算化成参数运算）.
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2．矩阵（二次型）正定性的证明
所以 也是实对称矩阵.
又 的特征值为 也都大于0， 正定
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证明：由A正定,存在可逆阵Q ,使
令
仍是对称阵，故存在正交阵R，
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