第13章虚位移原理概述.ppt

1 2用虚速度法: 代入到 3用建立坐标,取变分的方法,有 解得 1 解：这是一个具有两个自由度的系统，取角?及?为广义坐标，现用两种方法求解。 y 例3 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角?及? 。 1 应用虚位移原理， 代入(a)式，得： 解法一： 1 由于 是彼此独立的，所以： 由此解得： * 1 在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。 1 §13–1 约束及其分类 §13–2 自由度 广义坐标 §13–3 虚位移和虚功 §13–4 理想约束 §13–5 虚位移原理 第十三章 虚位移原理 1. 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 一. 约束 §13-1　约束及其分类 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。 2. 定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称非定常约束， 否则称定常约束。 1 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。 3、完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。 1 在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 4、单面约束和双面约束 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 刚杆 x2+y2=l2 绳 x2+y2? l2 1 双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数） 1 §13-2　自由度 广义坐标 一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。 其自由度为 k=3n-s 。 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。 例如, 曲柄连杆机构, 确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程，因此有一个自由度。 1 一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y, z, s 等），也可以取角位移（如? , ?, ?, ? 等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。 1 例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角?为广义坐标，则： 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。 1 例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。 两个自由度 取广义坐标?，? 1 一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。 1 §13-3　虚位移和虚功