二轮复习之特征方程法求递推数列的通项公式(基础篇)概述.docx

二轮复习之特征方程法求递推数列的通项公式（基础篇）适用学科高中数学适用年级高三适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点常见数列通项公式的求法（构造法、特征法等）教学目标让学生数列的掌握各种不同数列的通项的求法 特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。教学重点构造法、特征法等教学难点构造法、特征法等 教学过程 一、高考解读 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 二、复习预习 一、等差数列的通项公式：an= 或an= ；； 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。 等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，，成等差数列。 等差数列的前和的求和公式 ； 二、等比数列通项公式：an= 或an= ； 3、前n项和公式：Sn = （q=1） = ，（q≠1） 三、知识讲解 考点1 （一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 考点2 设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元则 当时，，数列是以为公比的等比数列，故 当时，，为0数列，故（证毕） 四、例题精析 例题1 已知数列中，，，求. 【规范解答】设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 【总结与思考】递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例题2 设数列：，求. 【规范解答】设，将代入递推式，得 …（１）则,又，故代入（１）得 【总结与思考】（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之. 例题3 已知数列中，,，求。 【规范解答】在两边乘以得： 令，则,应用例7解法得： 所以 【总结与思考】引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。 例题4 已知数列中，,,，求。 【规范解答】由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试）， 则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即 又，所以。 【总结与思考】 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法：先把原递推公式转化为 其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。 例题5 已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由，得 ， 且。 则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是 。把代入，得 ， ， ， 。 把以上各式相加，得 。 。 解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。 , 。 又由，于是 故 【总结与思考】对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 课程小结 设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元则 当时，，数列是以为公比的等比数列，故 当时，，为0数列，故