第6章几何的诞生汇编.ppt

第6章 数学的转折点 ——解析几何的诞生 从常量数学到变量数学 欧几里得与他的 《几何原本》 阿波罗尼奥斯与 《圆锥曲线》 变量数学的早期形式 6.1 解析几何产生的背景 16-17世纪，一系列重大的发明为数学和科学的发展扫清了障碍，数学思想进入了一个新阶段. 首先，从印度—阿拉伯数码的产生，到系统的采用数学符号，以及代数和分析等学科的发展，为解析几何产生创造了条件； (例如：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就) 6.1 解析几何产生的背景 其次，数学家对圆锥曲线的认识，从最初看作是从不同角度截圆锥体而得到的曲线，到把曲线看成是物体运动的轨迹. 例如：开普勒提出了行星运动三大规律 椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上. 伽利略明确指出各抛射物体的运动轨迹是抛物线. 6.2 笛卡尔和他的《几何学》 法国科学家、哲学家,?数学家. 1596年3月13日，生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城，3天后，母亲去世，从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病。1649年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学，很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650年2月11日，这位科学巨人与世长辞了。 著作：1637年发表《方法论》，并附有一篇《几何学》的附录. 《几何学》所阐述的思想，被弥尔称作“精密科学进步中最伟大的一步” 笛卡儿的理论以两个观念为基础： 坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线． 笛卡尔的《几何学》共分三个部分： 第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释，在这一部分中，笛卡儿把几何算术化了： 在一条给定直线上标出x， 在与该轴成固定角的线上标出y， 并作出满足对应关系式的点. 第二部分讨论了帕普斯问题： 设给定的线段是AG、GH、EF和AD. 从点P引四条线与已知线交于已知角， 且 ，求P的轨迹. 第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了方程可能有和它的次数一样多的根. 在他的《几何学》中第一次出现变量与函数的思想． 笛卡儿所谓的变量，是指具有变化长度而不变方向的线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量． 笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形” 与“数” 统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革. 6.2 费马和他的解析几何 费马是法国数学家，1601 年8 月出生于生活在富裕舒适的环境中．费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响．直到14岁时，费马才入校学习，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律. 费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发现，如果通过坐标系把代数用于几何，轨迹的研究就易于进行. 他定义了以下曲线：直线方程为：b=d =(a?x)=y；椭圆方程为：a2?x2=ky2；双曲线方程为：xy =k2;a2 +x2 = ky2；抛物线方程为：x2 = ay; y2 = ax． 后来又写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》(1629 年表)，提出了一个很重要的命题： 两个未知量决定一个方程式，对应着一条轨迹可以描绘一条直线或曲线．1643 年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想． 费马关于曲线的工作 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》，他用代数方法对该书的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理. 并于1629年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》（即研究“点”在平面和立体空间中运动划出的“轨迹”，主要指直线和各种曲线.费尔马又是用代数方法研究的，与笛卡尔的类似. 曲线和它上面的任意点I（I通过AE确定）， A是从原点O沿底线到J的距离，E是J到I的距离， 费马给出直线方程为： d x=b y ， 圆方程为： 双曲线方程为： 抛物线方程为： 6.4 解析几何的进一步完善和发展 牛顿在1704 年，对于二次和三次曲线理论进行了比较系统的研究．特别是，得到了“直径” 的一般理论． 例如，二次曲线的平行弦中点的轨迹是直线，这个结论，对于椭圆、双曲线、抛物线都是正确的．对于这个早已熟知的命题，要用综合几何的方法来论证是非常困难的，但用解析几何的方法很容易就证明了．这也显示了解析几何的作用． 向量及其线性运算 2. 向量的减法 旋转曲面 总结： 解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问