第14章结构的弹性稳定计算概述.ppt

（14-8） 将其代回（14-8）式的第二、三式得 （14-9） 其中： （14-8） （14-9） 由（14-8）和（14-9）式可以看出，杆端内力与轴力Fp（在u里）的关系是非线性的，而与杆端位移的线性关系仍然成立。因此，在稳定问题中，对于杆端位移分析时，仍可采用叠加原理。但需注意，在分别考虑任一杆端位移对杆端内力的影响时，必须将轴力同时考虑进去，即采用（14-8）或（14-9）式。 三 按位移法组成的稳定方程 如图所示三杆组成的刚架 Fp2 Fp1 其稳定方程的形成过程与前面的强度计算时情况相同。基本结构如图示。 Fp2 Fp1 Z3 基本结构 Z1 Z2 相应的位移法典型方程为 其中 基本未知量列向量 自由项列向量 刚度矩阵 由于刚架各杆无荷载作用，而结点上集中荷载影响已在转角位移方程中考虑，因此，{ Rp}=0，则位移法典型方程为 上式是关于基本未知量Z1、Z2及Z3的齐次线性方程组，对于稳定问题，要求上式有非零解，即要求其系数行列式应为零 这就是稳定方程，由此可求出临界荷载 例3 如图示结构求其临界荷载 i Fp Fp i i 2i l l l A B C D E 解： 由于两立柱的长度、刚度相同，所受压力相同，所以 位移法计算时，基本未知量有两个。其基本结构如图所示。 Fp Fp 基本结构 Z1 Z2 则稳定方程为 因为 则把刚度系数代入稳定方程整理得 或 解之得 查表知，应取 即 由上式易得 例4 如图示结构求其临界荷载 EI Fp EI 2EI l l A B C D 解： 仅有AC立柱承受压力，所以 位移法计算时，基本未知量有两个。其基本结构如图所示。 Fp Z2 Z1 基本结构 则稳定方程为 令： 则 则把刚度系数代入稳定方程整理得 解之得 查表： 利用线性插值得 即 由上式易得 §14.3 等截面直杆的临界荷载 一 刚性支承上等截面直杆的临界荷载 常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学中已求出，归纳如下 ?为长度系数 Fp ?=1 l Fp ?=2 Fp ?=0.7 Fp ?=0.5 Fp ?=1 二 弹性支承上等截面直杆的临界荷载 工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。 如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。 Fp l k ? y x 由 得 (a) 其中 (a)式的解为 上式中A、B、?为待定常数，由边界条件确定 由 得 (b) 由 得 (c) 由 得 (d) 由(b) 、(c)、(d)组成的关于未知量A 、B、?的齐次线性方程组，有非零解的条件为 将上式展开整理得 或 这就是所求的稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。 对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如 Fp k Fp 1 k k Fp 1 k Fp EA=? 三 竖直杆在自重作用下的稳定 如图所示结构，在自重作用的稳定性分析已有级数形式（-1/3阶贝塞尔函数）的精确解。 q l x y a 下面采用能量法求其近似解。 设： 则 下面计算外力功，取出微段dx，则该微段因弯曲引起的轴向下降距离为 ds ds dx 于是该微段上部重量所做的功为 则全部自重所做的功为 由 得 这个近似解比精确解大约5.9% 若取级数的前两项 可以求得 这个近似解仅比精确解大约0.013%，精度显著提高。 §14.4 变截面直杆的临界荷载 下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压杆 l1 l2 l EI1 EI2 x y ? 令上部压杆任一截面的侧移为y1，下部压杆任一截面的侧移为y2。则这两部分压杆的挠曲控制方程为 (a) (a)式的解为 (b) 其中 上述解共含有A1、B1、A2、B2和?五个待定量，它们可由边界条件确定 由 得 (c) 由 得 (d) 由 得 (e) 由 得 (f) 由 得 (g) 由上述5式组成的关于A1、B1、A2、B2和?的齐次线性方程组，有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即 展开得 利用l=l1+l2及相应的三角函数公式上式整理可得 或 这就是所求的稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可采用能量法求其近似解。 结构力学第14章 结构的弹性稳定计算 主要内容 1 基本概念 2 临界荷载的确定 3 等截面直杆的临界荷载 4 变等截面直杆的临界荷载 5 偏心受压直杆的稳定 6 剪力对临界荷载的影响 7 组合压杆的稳定 8 刚架的稳定