第4章弹塑性力学的解题(修改)汇编.ppt

第四章 弹塑性力学的解题方法 第二节 按应力求解弹性力学问题 第三节 平面问题和应力函数 第四节 逆解法和半逆解法 第六节 平面问题的极坐标解答 几何方程为： 极坐标中的相容方程（不计体力）： 是应力函数。 极坐标中应力函数表示的应力分量为（不计体力）： （4－27） 平面轴对称问题： 各物理量仅是的 函数与 无关，则有： 相容方程为： （4－28） 它的通解为： （4－29） 应力分量为： 应变分量为： （4－30） （4－31） 位移分量为： （4－32） 其中，A，B，C，H，I，K 均为任意常数。 【 应满足位移单值条件：当 时， 是同一值，所以有 】 对于平面应变问题可以作相应变换即可。 〖例1 P161〗 是单位厚度所受的力，显然，楔形体内任一点的应力分量是 的函数。应力分量的量纲为[力][长度]-2， 的量纲为[力][长度]-1， 的量纲为[长度]， 无量纲，所以应力分量只能为 形式。 即是说，在各应力分量的表达式中， 只能以负一次幂 出现，而从式 可以看出，应力函数 中的 的 幂次应比应力分量中 的幂次高出两次，从而可以假设应力 函 数为： （分离变量） 代入相容方程： 得： 其特征方程为： 解为： 所以原方程的通解为： 则有： 因为： 所以： 为线性项，它不影响应力表达式，可略去，得： 下面来确定常数C，D： 显然在左，右两面的应力边界条件是： 已自动满足 如果以上各弹性体的边界上确实作用着如图所示分布的面力，则以上所得结果便是该问题的解。可以看出，在实际问题中，只有简单的问题才较容易找到应力函数的型式。从以上各例也可看到就同一个应力函数而言，对于不同形状的弹性体，甚至对于同一形状的弹性体但选用不同的坐标系，都对应着不同的面力。 上述问题分析可以看出：因为在掌握了许多简单应力函数所对应的应力特点，可以用叠加原理去解决实际上比较复杂的问题。 2、半逆解法 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察 是否满足相容方程以及边界条件等。如果满足，则可解，否则修改原来假设的函数。 2、半逆解法 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察 是否满足相容方程以及边界条件等。如果满足，则可解，否则修改原来假设的函数。 由于半逆解法对应力分量作了一定的假定（这些假定一般 是根据材料力学的解或根据经验），使得问题的求解过程得以 大大简化，例如有时是将求解偏微分方程转化为求解常微分方 程，使得问题能够求解。 解：根据结构的特点和受力情况，可以假设纵向纤维互不挤压，即有： 下面通过实例说明，如何利用半逆解法求解具体问题。 例 ：设有如图4-5 所示的立柱（厚度为单位厚度），在其 侧面上，作用有均布剪力 ，试用半逆解法求其应力分布规律。 积分得出： （1） 应满足双调和方程，有： （2） 由于（2）式， 取任何值均应成立，即 略去 中对应力分量无影响的常数项和一次项，则： （3） 则有： （4） 根据下列边界条件，确定积分常数： （5） 但由该条件确定不了常数，因此可以考虑用等效力系代替，从而找到常数，这也是符合圣维南原理的。 在上端面用等效条件： ① 方向的合力为零， 将 的表达式代入： 代B进入（5）式有： ② 方向的合力为零即： 积分得： （7） ③ 合力矩为零即： 积分为： （8） 由（7）、（8）两式得： 第五节 边界上 及其导数的力学意义 用应力函数表示的边界条件为： 应力函数的引入，给求解平面问题带来了很大的方便，为了更有效地确定所给问题的应力函数，研究边界上 及其导数的力学意义是非常必要的。 （4－23）