第4章电磁场汇编.ppt

使用勒让德多项式的唯一性，即将区间［-1, 1］内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑P1(cosθ)=cosθ，得 (r≤a) (r≥a) 4.5 复 变 函 数 法 4.5.1 复电位 如果复变函数w(z)=u(x, y)+jv(x, y)是解析函数，则它的实部和虚部之间应满足柯希—黎曼条件： 利用柯希—黎曼条件，可以证明解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程： 我们又知道，对解析函数w(z)=u(x, y)+jv(x, y)，曲线簇u(x, y)=C1和曲线簇v(x, y)=C2处处相互正交。这个性质可以用下面的公式来表示： 4.5.2 用复电位解二维边值问题 图 4-12 电通量函数 图 4-13 电容的计算 同理，也可以用实部表示电位函数。此时其虚部是通量函数的相反值(原因请读者思考)，即 在一般情况下，寻求相应的复电位函数并没有固定的方法， 而且往往极为困难。所以通常采取相反的途径，就是先研究一些常用解析函数的实部和虚部的等值线分布。对于实际的边界形状，从以上函数中找出其实部(或虚部)的等值线与边界相重合的函数，再根据已知的边界条件确定该解析函数中的待定常数。 对于一些形状较复杂的边界，常常需要进行两次或多次变换。 例 4-13 分析解析函数w=Alnz所表示的场(A为实常数)。 解： 用极坐标(r，φ)表示z, 则 图 4-14 对数函数 如果用虚部表示电位，它可以表示夹角为α的两个半无限大导体板的电场。此时，可以求出图 4-14 所示问题的复电位为 在实际计算时，因u和v都是无量纲的量，故应乘以适当的标度常数，又为了便于确定电位参考点，还要在对数函数中加上另一常数， 即 例 4-14 分析解析函数 所表示的场，并用此求半径为a的导体圆柱与无限大导体板(导体圆柱与平板平行，轴线距离导体平面为b)之间单位长的电容(如图 4-15 所示)。 图 4-15 导体板与导体圆柱 解：将z=x+jy代入式(4-74)，将函数w的实部与虚部分别写成x、 y的函数，有 导体平面(x=0)的电位为零。 即 于是有 这样就得到带正电的导体电位为 4.5.3 保角变换 图 4-16 保角变换 当f′(z0)不等于零时，它们之间的幅角关系为 以上二式相减， 得 即 ① 如果变换以前势函数满足拉普拉斯方程， 则在变换以后势函数也满足拉普拉斯方程；如果变换以前势函数满足泊松方程 则在变换以后，势函数满足以下的泊松方程 这表明，二维平面场的电荷密度经过变换以后要发生变化， 但是电荷总量不变。其理由是： 而 所以 ② 在变换前后，Z平面和W平面对应的电场强度要发生变化， 它们之间的关系为 这是因为，从Z平面变换到W平面时，线元的长度要伸长|f′(z)|倍，相应的电场强度要减小|f′(z)|倍。 ③ 变换前后，两导体之间的电容量不变。 则沿轴线方向单位长度的C1’上的总电荷为 因为 所以有 Q=Q′ 例 4-15 两个共焦椭圆柱面导体组成的电容器，其外柱的长、 短半轴分别是a2、b2，内柱的长、短半轴分别是a1、b1，如图4 - 17 所示，求单位长度的电容。 图 4-17 椭圆区域的变换 解： 即 所以 图 4-18 z=cosw的变换 单位长度电容为 4.6 格 林 函 数 法 4.6.1 静电场边值问题的格林函数法表示式 假定已知某给定区域V内的电荷体密度ρ(r)，则待求电位φ(r)满足泊松方程： 例 4-7 横截面如图 4-8 所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0， 求此区域内的电位。 图 4-8 矩形截面导体槽 解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x, y)。 在区域 0ya、0yb内， ▽2φ =0 边界条件为 ① x=0, φ(0, y)=0 ② x=a, φ(a, y)=0 ③ y=0, φ(x, 0)=0 ④ y=b, φ(x, b)=U0 即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1, 2, 3, …)，这样得到X(x)=a1sin(nπx/a)。 由于α2+β2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数， 即 有c2=0, Y(y)=c1sh(nπy/a)，这样我们就得到基本乘积解X(x)Y(y)， 记