第24二项分布与泊松分布概述.ppt

第2.4节 二项分布与泊松分布 一、二项分布的性质及计算 二、二项分布的泊松逼近 作业 伯努利资料 泊松资料 3 泊松分布的形成机理 证明 泊松过程 以某交换装置的电话呼叫次数为例，推导泊松分布。 由上述3条性质推导电话呼叫次数服从泊松分布 由独立增量性与全概率公式可得 特别是 此函数满足单调递减，有引理2.4.1可得 由于此函数表示的是概率，因而0a1, 则存在一 个?0,使得 当?t?0时，由上式可以得到 因此 由此可以推得 由初始条件 可得 求解此线性微分方程 依次类推可以得到 因此电话呼叫次数服从泊松分布 例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 解 所需解决的问题 使得 合理配备维修工人问题 由泊松定理得 故有 即 个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01. 故至少需配备8 例 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法 发生故障时不能及时维修”, 而不能及时维修的概率为 则知80台中发生故障 故有 即有 按第二种方法 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为 一、二项分布的性质与计算 二、二项分布的泊松逼近 三、泊松分布 1 二项分布的计算 　　将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验. (1) 重复独立试验 (2) n 重伯努利试验 伯努利资料 实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 　　　币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 　　　是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式 且两两互不相容. 称这样的分布为二项分布.记为 二项分布的图形 例 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布. 分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理. 例 解 图示概率分布 解 因此 例 (4) 二项分布数值表 对于二项分布的计算，我们可以通过查表得到 0.0739 0.0010 ---- 13 0.0370 0.1916 0.0089 6 0.1201 0.0039 ---- 12 0.0148 0.1789 0.0319 5 0.1602 0.0120 ---- 11 0.0046 0.1304 0.0898 4 0.1762 0.0308 ---- 10 0.0011 0.0716 0.1901 3 0.1602 0.0654 0.0001 9 0.0002 0.0278 0.2852 2 0.1201 0.1144 0.0004 8 ---- 0.0068 0.2702 1 0.0739 0.1643 0.0002 7 ---- 0.0008 0.1216 0 b(k;20,p) k b(k;20,p) k 当p0.5时，表格没有提供数据，但可以利用公式 b(k;n,p)=b(n-k;n,1-p) 以及结合查表得到。 (5) 统计假设检验法 例(p88例2）设在家畜中感染某种疾病的概率为30%, 新发现了一种血清可能对预防此病有效，为此对20只健康的动物注射这种血清，若注射后只有一只动物感染，试判定该血清对此病的效果如何？ 解 假设该血清对此病无效果，因此20只感染k只的 概率为b(k;20,0.3), 则发生感染一只或无感染情形的概率为 b(0;20,0.3)+ b(1;20,0.3)=0.0076 这样的小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但事实上，这样的事件却发生了，因此我们有理由怀疑，我们的假设是错的，这样的原理将是统计学里边假设检验的主要原理。 2 二项分布的性质 观察下面二项分布的图形 概率会随着k的增加先递增，再递减，并在某处达 到最大 因此，当k(n+1)p时，b(k;n,p)单增，当