第4章静态场边值问题的解法汇编.ppt

第四章 静态场边值问题的解法 4.1分离变量法 4.1.1直角坐标系中的分离变量法 4.1.2圆域内的二维场问题 4.1.3球坐标中的分离变量法 4.2 有限差分法 利用边界条件可定出各系数。 以下利用此题的具体特征解题。 （1）场的分布对称于x轴， ?(r,?)= ?(r,-?)， (2)因场的对称性，y轴是等位线 ?(r,??/2)=0 n=1,3,5…….为奇数，代入 可得满足 时， n只能取1。否则，可导致另外与x轴斜交的零等位线。 所以： 圆柱内外电位?1(r,?)和?2(r,?)的一般形式为 ?1＝0，(r=0),得b1＝0。 ?2＝－E0rcos? （r??） 得a2＝－E0。 因而有 从 可求出 圆柱内场强均匀分布，且与外场方向一致。 圆柱内电场强度 4.1.3球坐标中的分离变量法 如果求解球空间或场有球面边界，应用球坐标更方便。球坐标中的拉普拉斯方程为 令?＝n(n+1),（任一实数总可写成这种形式）。 即在球坐标下，电位?的解为 其中 Pn(x)可用罗德利克公式表示 勒让德多项式具有正交性。 ? ? ? 在一定的条件下函数f(x)可按固有函数Pn(x)展开。 教材例4.3.1 在均匀外场E0中放置一半径为a的介质球，求的介电常数为?，求外为空气，，计算球内外的电位函数。 解：采用球坐标，电位?与?无关。 设球外电位为?1，球内电位为?2。外电场E0引起的电位为?0＝-E0rcos?。 r趋于无穷时，?1＝?0＝-E0rcos? r=0时，?2有界。 在整个区域内，电位?满足方程 用分离变量法，可解出电位?（r,?），只有n为整数时，方程在 区间内才有有界的解。 r=0时，?2有界, Rn（r）有界， r趋于无穷时，?1＝?0＝-E0rcos? 右边可看成将cos?展开成勒让德函数的级数。比较两边系数，左边只有n＝1的项不为零。 ，且A1＝－E0。 Cn中只有C1不为零。 可解出 例4.2.2已知半径为r＝1的球形域内的电位u满足拉普拉斯方程，求u的分布，其中在边界球面上 解：采用球坐标。从方程和边界条件分析，u与?无关，定解问题是： 分离变量 * * ? 静电场和恒定电场的分析归结为求解相应的泊松方程或拉普拉斯方程。给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一点解。三类给定边值： ? 当媒质不均匀时，作为定解条件还需加入辅助边界条件 如果场域扩展为无界区域，还需提出无限远处的边界条件。微分方程与边界条件一起构成边值问题。 4.1.1直角坐标系中的分离变量法 定解问题 一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位?4＝?0。求槽内电位分布。 解：设金属槽的长度远大于截面尺度，忽略边缘效应，将问题简化为二维场来分析。 4.1分离变量法 问题转化为如下定解问题 令?(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程，得 只有当左右两边都是常数时，上式才成立，令此常数为－?。 将偏微分方程转化为两个常微分方程。 边界条件转化为： ? 1．需先解下列边值问题。 ?是待定常数，要解出使方程有非零解的?值和此非零解X(x)。 该边值问题称为常微分方程在此边值条件下的固有值（特征值）问题。 ?称为该问题的固有值（特征值），X(x)称为该问题的固有（特征）函数。 分三种情况讨论。 （1）设?0，常微分方程的通解为 ? 根据边界条件 A＝B＝0，X(x)无非零解。 ?不能小于零。 代入边界条件同样得： A＝B＝0。X(x)无非零解。 ?不能等于零。 （2）设?＝0，常微分方程的通解为 （3）设?0，令?＝?2，常微分方程的通解为 代入边界条件 A＝0，Bsin?a＝0，B不能为零，否则只有零解。 sin?a＝0， ? ? ? 所以固有值和固有函数分别为 2．再解Y（y） 3．满足方程和部分边界条件的一组特解是： 这组解满足方程和部分边界条件，但不一定满足所有边界条件。 由于方程是线性的，可应用叠加原理， 将所有特解叠加 只要无穷级数收敛，且能关于x和y逐项微分两次，则?（x,y）与?n(x,y)一样满足方程和部分边界条件。 适当选择Dn和En，可使?（x,y）满足方程和所有边界条件。 在上两式两边分别乘 并作积分。 无穷级数的系数应满足 无穷级数解满足原定解条件。通常取4项就能得到足够精确的结果。 分离变量法的主要步骤： （1）分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题（线性齐次偏微分方程）。 （2）确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次的时，利用其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解。 （3）求解其他常微分方程。得到满足齐次