第八节二重积分概述.ppt

一、二重积分的概念与性质 二、二重积分在直角坐标系中计算 三、二重积分在极坐标系中的计算 四、二重积分的几何应用 第八节 二重积分 三、二重积分在极坐标系下的计算 1.极坐标系下的面积微元 r o 二重积分在极坐标系中面积微元为 在极坐标系中, 用r=常数和 =常数来分割区域 D. 设 是由半径为r 和 的两个圆弧与极角等于 和 的两条射线所围成的 小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形, 所以它的面积 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有关系： 分别将 代入二重积分表达式中，可得二重积分在极坐标系下表达形式 此式称为二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式. 所以 2.极坐标系下化二重积分为二次积分 (1)若极点在区域 D 之外. 则有 (2) 极点在区域D的边界线上 D: 则有 x o x o (3) 若极点在区域 D 的内部 则有 D: 如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数 为f (x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算. 利用极坐标计算二重积分积分特征 x o 极坐标下二重积分计算的基本步骤 1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分. (1) 将 代入被积函数. (3) 将区域 D 的边界曲线换为极坐标系下的表达 式，确定相应的积分限. (2) 将面积元素dxdy换为 . 2.将极坐标系下的二重积分转化为二次积分. 例 计算二重积分 其中区域D为由x=0及 x2+y2=2y 围成的第一象限内的区域. 解 D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式 此时D可以表示为 x y o 例 计算 其中 解 在极坐标系下 故 注：由于 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算. x y o 例 计算积分 解 积分域是圆环，D： x y o 曲线 的极坐标方程为 ； 曲线 的极坐标方程为r =2. 例 计算 , 其中D是由不等式 所确定的区域. 解 极点在区域 D的边界曲线上. 因此 x y o 二重积分计算总结： 二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的. 一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有 的项时,采用极坐标系下计算往往比较简便. 当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，通常选择在直角坐标系下计算. 二重积分计算过程 选择坐标系 化为累次积分 计算累次积分 选择积分次序 四、二重积分的几何应用 1.平面图形的面积 由二重积分的几何意义可知，xOy平面上封闭曲线所围成的平面区域D的面积值，可表示成二重积分 x y D 利用二重积分的几何意义可以求解平面图形的面积和空间几何体的体积. ( 为平面图形的面积值） 例 求由曲线 所围成的区域的面积. 解 作出区域的图形，所求面积为 x y 2 -6 2.几何体的体积 (1)以连续曲面 为顶，有界闭区域D为底的曲顶柱体体积为 (2)由连续曲面 所围成的几何体的体积为 x z y x z y 例 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积. 解 由二重积分几何意义知所求四面体体积为 x z y 例 求抛物面 与平面 所围成的立体体积. 解 画出曲面所围立体的图形,考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可， x y z 在极坐标系下计算 x y 2 2 Ｏ 例 求由锥面 与抛物面 所围立体的体积. 解 由 消去z得投影区域边界为