第八章__二重积分概述.ppt

一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例1. 比较下列积分的大小: 例2. 估计下列积分之值 例3. 判断积分 8. 设函数 四、曲顶柱体体积的计算 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 4. 证明: 1、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 2、利用极坐标计算二重积分 设 例6. 计算 注: 例7. 求球体 *3、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例8. 计算 例9. 计算由 例10. 试计算椭球体 思考与练习 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 作 业 P169 习题8.1 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 即 则 (1)极点O在积分区域D之外 (2)极点O在积分区域D之内 此时若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 若区域特征如图 解 解 例3 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。 解： 计算第一挂限部分体积 x y o x y z 解 ∵ D=2D1 例5 解 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, ① 故①式成立 . 又 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 定积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. 1. 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 解： 原式 2. 给定 改变积分的次序. 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 4、二重积分的计算 则 (2) 一般换元公式 且 则 在变换 下 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 * 主讲：贵州师大数计学院 陈云坤 《高等数学》——物理类专用 第八章 二重积分 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 第一节 二重积分 三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 五、二重积分的计算 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 有一个平面薄片, 在 xO