高三数学自主招生辅导第二讲_三角函数浅析.ppt

【例37】．证明： 分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项步转化为 、 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为 从而有 【例38】 已知圆 至少覆盖函数 的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。 　解 因为 是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆 也关于原点对称，所以，图 只需覆盖f(x) 的一个最值点即可。 令 ，可解得y=f(x) 的图象上距原点最近的一个最大值点 ，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即 　　综上可知，所求的k为满足 的一切实数。 【例39】．已知 ， 且满足：（1） （2） （3） 。 求f(x)的解析式 解．由 可得a+2b+4c=1524①　　 且b0时，有 　　 　　此方程组与①联立后无解 （2）当 且b0 有 　　 　　此时a=4,b=-40, c=400 （3）当a0且 有 　　 　　此方程组与①联立后无解。 （4）当a0且 ，有 　　 　　此方程组与①联立后无解， （1）当 综上可知， 【例40】．证明：对任意正实数x,y以及实数 均有不等式 解：原不等式等价于 　　 　　若 ，则 　　若 　　故原不等式成立 【例41】．已知当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。 解．令 ，由条件可得 所以 在第I象限，　　 由于 结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即 　　 　　 　　 原不等式可化为 【例42】：求出（并予以证明）函数 的最小正周期。 解： 首先，对任意 ，均有 这表明， 是函数f(x)的一个周期； 其次，设 ，T是f(x)的一个周期，则对任意 ，均有 在上式中，令x=0，则有 两边平方，可知 即 sin2T=0，这表明 ， 矛盾。 综上可知，函数 的最小正周期为 。 【例43 】在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，且sinAsinC=cos2B,S?ABC= ,求三边a,b,c 解：由已知得,B=600， 又由 得ac=16 从而 于是 ,又由 【例44】 在?ABC中，a,b,c分别表示三内角A、B、C的对边，且a,b,3c成等比数列，又A-C= ，试求三个内角的值 解：由a,b,3c成等比数列，得：b2=3ca ． 【例49】、已知α、β为锐角，且 ．求证对一切x≠0，有(cosα)x(sinβ)x． 证明：（1）若x0，则 ， 由正弦函数的单调性，得 ， 即0cosαsinβ1，(cosα)x(sinβ)x． （2）若x0，则 所以(cosα)x(sinβ)x． 综上（1）、（2）知，对于一切x≠0，均有(cosα)x(sinβ)x． 评述：三角不等式，首先是一个不等式，因而证明要灵活运用判别式法、单调性，基本不等式法等不等式证明的常用方法，其次含有三角式，因而可能要利用三角函数的性质，如单调性、奇偶性、有界性等． 【例50】、设α、β、γ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ2α＋2β＋2γ． 思路分析：本题等价于证明sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ2α＋2β＋2γ．观察到该式的对称性，尝试证明sinα＋tanα2α． 证明： 所以 ， 同理sinβ＋tanβ2β．sinγ＋tanγ2γ． 三式相加即得所证不等式 sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ2α＋2β＋2γ2π． sinα 【例51】、设0≤a≤1，且0≤x≤π，证明：(2a－1)sinx＋(1－a)sin(1－a)x≥0． 证明：显然0≤x≤π，0≤a≤1时，有sinx≥0，sin(1－a)x≥0， 因此当2a－1≥0且1－a≥0，即 ≤a≤1时，(2a－1)sinx＋(1－a)sin(1－a)x≥0． 另x=0时，上式也成立． 下面证明 ，x∈(0，π)时的情形．如图所示是函数y=sinx，x∈(0，π) ）必在相应弦OA的上方． 的图像，图中任一段弧（ 设A(x1，sinx1)、B(x2，sinx2)，则x2x1时，kOBkOA， 即 因此函数 是(0，π)上的减函数． （严格的代数证明略．）于是有 ， 即 ． 因此 ． 即 评述：分类讨论，逐步求解是数学解题的常用策略． 时，不等式也成立． 【例52】、已知 ，求证： 证明：要证 所以 式成立，原不等