高数第十章习题课浅析.ppt

二重积分的计算 习题课 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 一、主要内容 被积函数有 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2. 关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简 3. 关于积分限的确定 二重积分的面积元素 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形 1. 关于坐标系的选择 主要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑 看图定限 —穿线法定限 和不等式定限 先选序，后定限 ①直角坐标系 (ⅰ) 先 y后 x 过任一 x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线 穿过D的内部 从D的下边界曲线 穿入 —内层积分的下限 从上边界曲线 穿出 —内层积分的上限 (ⅱ) 先 x后y 过任一 y ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线 定限 左边界 ——内层积分的下限 右边界 ——内层积分的上限 则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算，结果相加 ②极坐标系 积分次序一般是 过极点O作任一极角 为 的射线 从D的边界曲线 穿入 从 穿出 (ⅲ) 如D须分片 —内下限 —内上限 具体可分为三种情况 ⑵极点在D的边界上 是边界在极点处的切线的极角 绝大多数情况下为0 ⑶极点在D的内部 化累次积分后 外限是常数 内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘 r ⑴极点在D的外部 总之二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线， 二重积分在直角坐标下的计算公式 ［X－型］ ［Y－型］ （在积分中要正确选择积分次序） 二重积分在极坐标下的计算公式 4. 利用被积函数的奇偶性与积分区域D的对称性计算 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 关于 的对称性分以下四种情况进行讨论 ① 若D关于 x 轴对称 （1）当 时， （2）当 时 表明f(x,y)是关于y的奇函数， 表明f(x,y)是关于y的偶函数， x y z x y z ②若D关于y轴对称 表明f(x,y)是关于x的奇函数， 表明f(x,y)是关于x的偶函数， ③若D关于原点对称 表明f(x,y)是关于x,y的奇函数， 表明f(x,y)是关于x,y的偶函数， ——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质 简述为“你对称，我奇偶” ①、②、③简单地说就是 ④若 D 关于直线 y = x 对称 二、例题分析 例1 求 解： 根据积分区域的特点 1 4 -1 2 应先对 x 后对 y 积分 但由于 对 x 的积分求不出来，无法计算，须改变积分次序。 先 x 后 y 有 奇函数 例2 计算 D2 D1 解： 由于 是关于y 的奇函数， 所以 其中 是关于x的奇函数， 即 于是 即 解： 解： 例4 计算 D1 D2 y 解: D的边界 极点在D的边界上 圆周在(0, 0)的切线斜率为 故 例5 计算 y y=-x 0 例6. 若f(x,y)在矩形域D：0≤x ≤1, 0≤y ≤1上连续，且 求 f(x,y)。 解：设 于是 即 即 于是 思考题： 1. 求： 2. 求： 3. f(u)可导，f(0)= 0, 求 4. 计算 5. 计算 其中 思考题解答： 1. 求： 解:原式 解： 先去掉绝对值符号，如图 其中 于是： 2. 求： 3. f(u)可导，f(0)= 0,求 解: 4. 计算 解: 由于D关于x, y 轴对称，其中 y 是关于 y 的奇函数， 即 于是 5. 计算 其中 解: 部分习题答案 解: R D y x 解: D关于x , y 轴及原点及 y =