高数第一章第二节浅析.ppt

上页 下页 返回 结束 第二节 数列的极限 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结 思考题 * 一、概念的引入 * 单击任意点开始观察 1. 割圆术 观察完毕 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 【引例】 * 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 * 2.【截丈问题】 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 公元前300年左右，中国古代思想家墨子语： 二、数列的定义 * 【例如】 * 【注意】 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 三、数列的极限 * 单击任意点开始观察 观察结束 * 【问题】 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它，描述它。 通过上面演示实验的观察: 【直观定义】当n无限增大时，xn 无限接近于一个确定的常数 a，称a是数列 xn 的极限. “距离任意 小” * * 【发散】如果不存在这样的常数a, 就说数列没有 极限,或者说数列是发散的. 1. 精确定义 设{xn}为一数列, 若存在常数 a, 对任给定的正数ε(不论它多么小), 总存在正数 N, 使得当n N 时，不等式 | xn -a |ε都成立,那么就称 a是数列{xn} 的极限,或者称数列{xn} 收敛于a, 记为 或 * 任意、给定二重性： 只有任意（小）才能刻划出 xn “无限接近于a ”，而只有给定才能找到相应的N. （但不是函数关系，因N不唯一） 【注意】 (5)［意义］用一个有限数，概括出一个无限变化 的量(用常量研究变量)。 * 3.【几何解释】 2.【 ε—N 定义】 【思考】认为“当nN时，有无穷多个点落在(a-ε,a+ε)内”是等价解释，正确吗？ 四、收敛数列的性质 1.唯一性 【定理1】每个收敛的数列只有一个极限. * 2.有界性 【例如】 有界 无界 (1)【定义】 (2)【定理2】收敛的数列必定有界. 【注意】 ①逆否命题必成立：无界列必定发散. ②逆命题不成立；有界列不一定收敛. ③数列有界是收敛的必要条件. 3.保号性 【定理3 】 【推论】 * 4.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系） 【注意】 ［例如］ （1）【定义】 * （2）【*定理4】收敛数列的任一子数列也收敛． 且极限相同． 五、小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性. 上页 下页 返回 结束