固体物理学第六章浅析.ppt

1. 非简并微扰 —— 零级近似 —— 微扰项 分别对电子能量E(k)和波函数?(k)展开 将以上各展开式代入薛定谔程中，得 零级近似方程： 能量本征值： 相应归一化波函数： 正交归一性： 一级微扰方程： 令： 两边同左乘 并积分得 k’ = k k’ ? k 由于一级微扰能量Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上。 令 代入二级微扰方程 二级微扰能量： * 面心立方晶格的布里渊区中一些具有较高对称性的点或轴的坐标 其中 §6.6 K·P微扰法 一、近自由电子模型 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰。 二、运动方程与微扰计算 薛定谔方程： 周期性势场： a：晶格常数 Fourier展开： —— 势能平均值 根据近自由电子模型，Un为微小量。 电子势能为实数U*(x)=U(x) Un*=U-n 第六章 1-6节 目录 §6.1 三维情况的布洛赫定理 §6.2 布里渊区 §6.3 平面波方法 §6.4 紧束缚方法 §6.5 正交化平面波方法 §6.6 K·P微扰法 §6.1 三维情况的布洛赫定理一、三维晶体的布罗赫定理证明 1.布罗赫定理 (1)布罗赫定理 在周期性势场中运动的电子，描述电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶格相同的周期性。 (2)表达式 * 2.布罗赫定理证明 (2)能量本征值E所对应的解?1(r)、 ?2(r)、… ?d(r),满足正交归一化条件。 (3)利用平移算符和哈密顿算符的对易性，求出?i(r+Rn) * 为任意函数 * 波函数应满足正交归一化条件: * (4)任何两个平移算符对易 f(r)为任意函数 结论：所有平移算符具有共同的本征函数，且和哈密顿算符有共同的本征函数。 * (6)代入本征方程可得 (7)引入平面波 代入本征方程可得 后面有证明 * (9)调幅函数周期性证明 (8)晶体中的波函数为 3.波函数(布洛赫波或布洛赫函数)的意义 (1)描述晶体电子状态的波函数是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶体相同的周期性。 (2)由于晶体中原子的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定原子的周围而能在全部晶体中运动, 即电子属于整个晶体。 (3)晶体中的原子在原子之间运动时势场起伏不大，其波函数应类似于平面波。由平面波因子eik·r来表示。 (4)当电子运动到原子实的附近，将受到该原子较强的作用，使其行为接近于原子中的电子，而晶体正是原子作周期性排列而成的，因此周期性函数uk(r)应当带有原子波函数的成分。 * 二、波矢k的取值范围 2. |uk|值的大小 1.晶体体积V和原胞数N 3.波矢k的表达式 周期性因子uk值模的平均值 4.利用周期性边界条件可得 5.波矢k的周期性 * 6.波矢取值范围 §6.2 布里渊区 一、布里渊区 1.布里渊区 在倒格子空间以某一倒格点为原点，从原点出发做所有倒格矢的中垂面, 这些平面把倒格子空间划分成许多包围原点的多面体,离原点最近的多面体称为第一布里渊区。离原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里渊区……。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊区；从原点出发只跨过一个垂直平分面的所有点的集合称为第二布里渊区……从原点出发跨过(n-1)个垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。 第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。 * 2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。 (2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为： (3)第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所包含的波矢的数目(即状态数)为晶体中的原胞数N。 * 6.2. 1 二维正方格子 1.布里渊区的画法 (1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图; (2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒格矢的垂直平分面; (3)确定相应的布里渊区。 * * Ⅰ Ⅱ Ⅲ * 2.第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格