笫四章根轨迹法总结.ppt

第四章 控制系统的根轨迹分析法 4.1 系统根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 系统根轨迹的绘制 4.4 参量根轨迹 4.5 系统性能的根轨迹分析 4.1 系统根轨迹的基本概念 一、问题的提出 在前一章控制系统的时域分析的讨论中已经知道，只要能求得系统微分方程的特征方程式的根即系统闭环传递函数的极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。但是在高阶系统中，求解特征根的根是一件很困难的事，在实际工作中难以应用。 1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法。 二、根轨迹的概念 定义 的某个参数，例如K,由 时，系统的闭环特征根在S平面上的变化 轨迹。 例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出 K变化 时的根轨迹。 解：闭环传递函数为 系统特征方程为 有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能 （1）稳定性 开环增益Kg从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的Kg值都是稳定的。 （2）稳态特性 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于一型系统。因此根轨迹的Kg值就是静态速度误差系数。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。 （3）动态特性 由图中可见，当0Kg4时，所有闭环极点都位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当Kg=4时，闭环两个实数极点相重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃仍为非周期过程，但响应速度较0Kg4的情况快； 当Kg4时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震荡过程，且超调量将会随Kg值的增大而加大。 由上述分析表明： 根轨迹与系统性能之间有着 比较密切的关系。 一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递系数Kg（也称为根轨迹增益）。 Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 本节重点: 掌握根轨迹的绘制方法 本节难点：根轨迹的出射角和入射角，以及根轨迹和虚轴的交点 一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为 其开环传递函数 由等式两边幅值和相角分别相等的条件可得 上两式分别称为根轨迹的 幅值条件 相角条件。 在S平面上的任一点，凡能满足以上幅值和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。 开环传递函数通常又可以写为 其中 ——开环传递系数，根轨迹增益。 ——开环零点、极点 即 其中 ——开环零点到S的矢量角 ——开环极点到S的矢量角 例 已知开环系统的传递函数如下式，设 为该闭环系统的一个极点， 求其对应的传递系数 。式中 为开环有限零点； 为开环 极点。 解： 在上图，各相角必满足 再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数 二、根轨迹绘制法则 1.连续性 2.对称性 对称性：对称于实轴，因特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对 称于实轴。 3. 起点 （Kg =0）和终点（Kg = ∞） 当Kg =0 闭环系统特征根即由开环系统特征方程式决定，即闭环极点也就是开环极点，根轨迹从开环极点出发。 开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。设N(s)为m阶，有m个有限开环零点，还有n-m个无限零点。 4 .根轨迹数 条数：开环极点数n，有n条根轨迹。 5.实轴上的根轨迹 在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。 例4-2 设开环传递函数为 连续性、对称性、条数、起点、终点、实轴上的根轨迹。 6.分离点和会合点 分离点：根轨迹相遇后又分开的点。 分离角：离开分离点角度。 会合点：根轨迹相会合的点。 会合角：进入分离点的角度。 一般来说，两个开环极点之间会有一个分离点，两个有限开环零点之间会有一个会合点。 计算分离点和会合点的依据： 求出