常微分习题剖析.ppt

* * 定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程 一、常微分方程与偏微分方程 第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念. §1.1 微分方程模型 微分方程: 联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程. 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为 试决定此物 例1 物理冷却过程的数学模型 Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 体的温度 和时间 的关系.（设空气的温度为 ） 24 C = a u o 解：设物体在时刻t 的温度为u=u(t), 则物体的温度变化的速度为 利用条件t=0时, u= u0 =24 ； t=10时u=u1=150 得 例2 镭的衰变规律: 解: 即镭元素的存量是指数规律衰减的. mg o Q M A l 例5: 两种生物种群生态模型 分析：把所有鱼分成两类：被食鱼和捕食鱼， 它们的总数分别用x(t)和y(t)表示， 例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 电路的Kirchhoff第二定律: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为 于是得到 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 解: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.