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第四章 控制系统的稳定性分析 一．概述 二．线性动态系统的外部稳定性 三．动态系统的内部稳定性 四．李亚普诺夫稳定性判别定理 五．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法 六．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法 一．概述 1. 稳定性是系统性能研究的首要问题 2. 古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性 (1) 局限于研究线性系统； (2) 局限于对系统外部稳定性的描述。 3. 古典控制理论的稳定性判别是Routh和Nyquist判据 4. 现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定判据 (1) 稳定判据可用于线性或非线性系统； (2) 可以研究系统的外部稳定性也可以研究系统的内部稳定性； (3) 能够反映系统稳定的本质特征。 返回 二．线性控制系统的外部稳定性（输出稳定） 1. 线性系统外部稳定的定义 零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称BIBO稳定。 2. 状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性 系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。 返回 三．动态系统的内部稳定性（研究系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性） 1. 基本概念 2. 李亚普诺夫稳定性定义 3. 稳定的范围 4. 内部稳定与外部稳定的关系 返回 1. 基本概念 (1) 平衡状态的定义 设不受外力的系统状态方程为 ，x（t），f（x，t）是 n 维 状态向量函数。若系统存在一个状态 xe 对任意时间 t 都有 则称状态xe是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变 化速度为零，即是静止状态故称平衡点。 (2) 平衡状态的计算 平衡状态即为代数方程组 的解。 线性定常系统的平衡状态：当A是非奇异时，则Ax=0，所以平衡状态是唯一的且在原点。 非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。 (3) 状态向量 x 的范数 在 n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，表示为： 。 状态向量x到平衡点xe的范数： 当范数 限制在某一范围之内时，可以表示为 。且具有 明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。 返回 2. 李亚普诺夫稳定性定义 用状态向量到平衡点的范数来表示系统在n维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点之间的距离变化，存在以下三种情况： (1) 渐近稳定 (2) 李亚普诺夫意义下的稳定 (3) 不稳定 返回 (1) 渐近稳定 对于系统 ,若任意给定实数 ，都存在另一实数 ，使得当 时,从任意初始状态 出发的解 满足 且对于任意小量 ，总有 ，则称系统在平衡状态xe是渐近稳定。 几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点距离可以无限接