传输原理4动量微分方程剖析.ppt

4.5 实际流体运动方程 可得考虑实际流体中在x轴上的粘性项 同理可得单位质量y轴和z轴方向的粘性力： 将三个方向上的粘性项带入到考虑粘性的方程中可以得到不可压缩实际流体的运动微分方程，亦称纳维—斯托克斯方程，简称N-S方程。 4.5 实际流体运动方程 考虑ν＝?/?，给出方程的矢量形式的方程。 质量力项 压力项 粘性力项 合力项 拉普拉斯算子 4.5 实际流体运动方程 柱坐标系(r，θ，z)中的质点导数和拉普拉斯算子分别为： 不可压缩流体纳维-斯托克斯方程在柱坐标系(r，θ，z)中的相应表达式如下： 4.5 实际流体运动方程 考虑v＝?/?，给出方程的矢量形式的方程。 例题8 在圆管中不可压缩流体作稳定的层流流动，求其速度分布。 解：如选取圆柱坐标系，假设流动是沿z轴方向进行，且为充分发展的层流流动。根据已知条件可知，流动是轴对称，θ方向可不考虑，仅z方向有流动。由连续性方程、稳定流动，忽略质量力，则有： =常数 4.5 实际流体运动方程 式中r为管截面上速度为υz处到管中心的距离R为圆管半径。显然其速度分布也呈抛物线形。下面很容易推导出υz与υzmax的关系为： 进行第一次积分，并将边界条件r=0处，代入，算得积分常数C1；再进行第二次积分，并将r=R处，υz=0代入，算得出C2。最后得到： 平均流速υz平均与最大速度υzmax的关系为： 4.5 实际流体运动方程 例题9 不可压缩流体在两无限大的平行平板之间作稳定层流流动，求其速度分布关系式。 解：假设两平板的间距为2y。x轴取在两平板中间位置，流动沿x轴正向进行，而远离进出口的地方已为充分发展的层流流动。 仅x轴方向有流动，考虑定常流动，因此简化公式为： 由于 式中左侧仅为x的函数，右侧仅为y的函数，故欲使方程成立只有令： 4.5 实际流体运动方程 进行第一次积分，则有 根据边界条件，当y=0， ，所以C1=0。再进行第二次积分，则有， 当y=±y0(即上下平板处)，υx=0，所以 呈抛物线形 =常数 4.5 实际流体运动方程 当y=0处， υx= υx max，即: 所以有： x方向上的平均流速υm相当于求上述抛物线的平均值： 因此，平均流速与最大速度的关系为： 再考察最大速度υ x max与υ x之间的关系。 4.6 小结 本章研究了质量守恒和动量守恒在流体流动情况下的微分方程。通过分析穿过微元体的质量、动量和应力的变化，建立了连续性方程、欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。求解微分形式的基本方程，可以得到流动参数在流场中的分布。 通过微元控制体建立微分方程的方法，在后面章节中有较为普遍的应用。通过本章的学习，要熟悉掌握其思路和方法。 建立了定常流运动的伯努利方程，阐述了伯努利方程的物理意义和几何意义，并以实例说明了伯努利方程的应用。 冶金传输原理 北京科技大学冶金与生态工程学院 冶金传输原理第一部分流体力学 第四章：动量传输的微分方程 吴铿 2009.03.15 第四章 流体动力学 4.1 连续性微分方程 4.2 理想流体运动方程 4.3 伯努利方程 4.4 伯努利方程的应用 4.5 实际流体运动方程 4.1 连续性微分方程 微元控制体(流体的密度为ρ) 流进ABCD面 的质量流量 流出EFGH面的质量流量 X轴方向的净流入的质量(流入和流出之差)。 4.1 连续性微分方程 同理可以给出y和z两个方向上的表达式。 流体考虑三个方向上净流入质量为： 净流入量导致微元控制体内流体密度的变化， 微元体内单位时间质量的累积(或累积的质量) 质量守衡定律：净流入质量=累积的质量(质量的累积) 由前面的方程可以得到连续性方程 式中未涉及力的问题，是运动学方程，对理想流体和粘性流体均适用，实际存在的流体都必满足连续性方程 将上式展开，考虑 可得： 不可压缩流，ρ为常数 4.1 连续性微分方程 对于稳定流动 例题1：已知某二维不可压缩流的速度分布(或速度场)如下，试分析此流场是否存在？ 解：因为流场是否存在必须满足连续性方程，所以可用上面的直角坐标公式来判断。由于： 对于园柱坐标，不可压缩流： 4.1 连续性微分方程 例题2 试判断下列平面流场是否连续？ 解：因为 代入前面的园柱坐标公式可得 说明此流场是不连续的，亦即不存在。 说明此流场是连续的。 4.1 连续性微分方程 取一个微分控制体如图所示。由于动量是矢量，首先考察x轴方向上的动量。这一方向上动量输入、输出控制体的方式有三种，即沿着x轴，以及沿着y轴和z轴的输入、输出。 沿x轴输入和输出的动量速率(流密度)分别为： 4.2 理想流体运动方程(欧拉方程) 净动量速率为