大地测量(第四章)1剖析.ppt

FOUNDATION OF GEODESY 4.7 大地主题解算概述 大地元素： 大地经度L，大地纬度B，大地线长度S，正反大地方位角A12、A21 大地主题解算： 已知某些大地元素推求另一些大地元素。 大地方位角： 大地方位角是大地坐标系中表示方向的角量，是参考椭球面上过某点的子午圈与过该点某一方向的大地线间的夹角，大地方位角由子午圈北方向起按顺时针方向计算,通常用A表示。它不能直接测得,而是由天文方位角按拉普拉斯方程换算而得。 白塞尔提出的第三个投影条件： 3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。 以上为白塞尔微分方程. 3 白塞尔微分方程的积分 积分得到下式： 适合于反算: 适合于正算: 迭代法: 直接法: 将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。 正算： 反算： 4 白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点的归化纬度 2.计算辅助函数值 解球面三角形可得: 3. 按公式计算相关系数A,B,C以及α,β 4.计算球面长度 迭代法: 直接法: 5.计算经度差改正数 6.计算终点大地坐标及大地方位角 5 白塞尔法大地主题反算步骤 1.辅助计算 2.用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差 ，第一次趋近时，取δ＝０。 计算下式,重复上述计算过程2. 3. 计算大地线长度S 4. 计算反方位角 球面上大地主题正解 球面上大地主题反解方法 2 椭球面和球面上坐标关系式 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为: 白塞尔提出如下三个投影条件： 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧 2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等； 3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。 作业： 1．为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常重力？目前一般实用的正常地球是什么形状？ 2．什么是水准测量的理论闭合差？水准测量的观测高差一般要加入那些改正？ 3．正常重力公式是用来计算什么地方的正常重力? 4. 为什么水准测量会产生多值性？ 4.7 大地测量主题解算概述 4.7.1 大地主题解算的一般说明 主题解算分为: 短距离(400km) 中距离(1000km) 长距离(1000km以上) 1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。 主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：高斯平均引数法 2.以白塞尔大地投影为基础 1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面 向球面的过渡； 2)在球面上解算大地问题； 3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。 典型解法：白塞尔大地主题解算  特点：计算公式可展为 的幂级数，解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应20 000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。 可在已知点P1（S=0)，按照麦克劳林级数将P1和P2点的纬度差、经度差和方位角之差展开为大地线长度S的幂级数。 4.7.2 勒让德级数式 为了计算 的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。 一阶导数： 二阶导数： 三阶导数 4.7.3 高斯平均引数正算公式 高斯平均引数正算公式推导的基本思想： 首先把勒让德级数在 P１点展开改在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点 M 的复杂性，将 M 点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。 (1)建立级数展开式: 同理可得: (2) (3)由大地线微分方程依次求偏导数: 同理可得： 注意： 从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”。 4.7.4 高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出: 上述两式的主式为: 已知：