弹塑性力学第十章剖析.ppt

THE END * * * * * * * * 10-7 最小余能原理- 类似于最小（总）势能的推导，可由余虚功原理导出最小（总）余能原理。由式 将应变能函数表示为应 力的函数 ，可得 当有虚应力时，在边界 上，位移分量不变，于是可把变公符号放在括号外，令 记作这个变分量，有 33 于是有 于是有 其中 与最小势能一样，进一步分析可证明 34 所以可得到最小总余能原理：在所有满足平衡方程和应力边界条件的应力场中，真实的应力场对于稳定的平衡使系统的总余能取最小值。 物体的真实应力场既满足平衡方程、应力边界条件，又满足变形协调条件。由最小余能原理知道，真实的应力场满足平衡方程和应力边界条件，还满足使总余能取最小值的条件。可见，最小总余能原理与变形协调条件等价。通过直接变换，可由应力变分方程导出变形协调方程。 其附加条件为 最小势能原理和最小余能原理的不同点 最小势能原理 最小余能原理 1. 最小势能原理是位移变分原理，变分的是位移；变形能是位移的函数。 最小余能原理是应力变分原理，变分的是应力；应变能实际是余能(在线弹性时等于应变能），是应力的函数。 2. 最小势能原理，体力和面力在公式中是给定的，出现，不变分。 最小余能原理，在这里体力一般是给定的外力，不参加变分，也不出现，给定面力的边界不参加变分，也不出现，给定位移的边界（面力未给定）位移出现，但不参加变分，这部分面力出现，参加变分。 3. 最小势能原理，变分的位移应满足位移约束条件，得到的是应力平衡方程和应力边界条件； 最小余能原理，变分的应力应当满足平衡方程和应力边界条件，得到的是应变协调条件和位移边界条件。 最小余能原理的意义 弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形和应力。应力可以是各种各样的，但必须满足应力的平衡条件和边界条件。满足应力平衡方程和边界条件的应力称为容许应力，容许应力也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实应力，根据它们求得的应变还应满足协调条件和位移边界条件。 应力 应力 应力 变协调 位移边界 余 余 余 余 应力 应力 应力 位移边界 变协调 余 余 余 余 最小余能原理一特殊情况，若在物体的全部表面S上给定面力 也即只有 而无 或者位移边界固定（变形体系无 支架移动） 此时，总余能等于余应变能。上述变分方程称为最小功原理：若变形体的面力给定或位移边界固定，则在所有满足平衡方程和边界条件的应力场中，真实的应力场必使余应变能取最小值。对于线弹性体，余应变能与应变能相等。所以上式又称为最小应变能定理:没有体力而物体表面上位移给定的条件下线弹性体处于实际的弹性平衡时，应变能最小。 最小功原理也可由卡氏定理直接得出。 10-8 最小功原理 卡氏第二定理 Chapter 10.7 假定变形体上受N个广义力 （i＝1、2……n）的作用，并认为系统的内力已由广义力表示，则系统的总余能为 由最小余能原理，有 卡氏第二定理（卡氏定理） 将 代入 得 即卡氏第二定理，它可叙述为：对于线性结构，它的余应变能 对任一载荷 的偏导数等于该载荷的位移 只要它的应变能表达为载荷的函数。因此，此式可用来计算线性，非线性弹性杆件或构件在外力作用处与外力相应的位移。当 为零时可转化为最小功原理。 Chapter 10.7 一类变量变分原理：在虚位移与最小势能原理中，以位移分量作为参与变分的独立变量；而虚应力原理与最小余能原理，则以应力分量为参与变分的独立变量。 二类变量广义变分原理：赖斯纳变分原理就是把位移和应力看作是独立的变量，其结果相当于同时满足平衡微分方程、物理方程和应力、几何边界条件。 三类变量广义变分原理：胡-鹫变分原理是把位移、应变作为独立变量，它等价于弹性力学的一切基本方程和全部边界条件。 这些原理是用拉氏乘子法，将条件极值问题变成无条件的驻值问题，是弹性力学中的最一般的变分原理，称为广义变分原理，也称为一般变分原理。 最小势能原理和最小余能原理都是条件变分原理，而赖斯变分原理和胡-鹫变分原理都是无条件变分原理。 10-9 广义变分原理 Chapter 10.7 对于一类变量变分原理也就是由虚