倒格子与布里渊区剖析.ppt

§1.6 倒格子与布里渊区 一.?? 倒格子 （先在基矢坐标系中讨论) 1. 定义： 正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3 2π i=j a i · b j = 0 i≠j 即i≠j ai ⊥ bj 例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1＝c(a2×a3) c为待定系数 则， a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ (A) 其中Ω为正格子初基元胞体积，同时，由定义 a1·b1＝2π （B） 比较（A）,（B）式得 b1＝ （a2×a3） 类似可得 b2＝ （a3×a1） b3＝ (a1×a2) 有了倒格子基矢，可构成倒格矢。 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性 其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间叫倒格子空间。 由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。 倒格子初基元胞“体积”Ω※＝b1·(b2×b3) 注意： 正倒格矢量纲不同，属不同的空间，可有方向上的关系，不能直接比较大小。 思考题：对二维格子，已知正格基矢a1、a2,如何确定b1、b2的方向？ 2．倒格子的重要性质（正倒格子间的关系） 在该晶面上作二非平行矢量（如图）u＝xa1－ya2 v＝ya2－za3 则 u·Gh＝(xa1－ya2) ·(h1b1＋h2b2＋h3b3) 由倒基矢定义 ＝2π（h1x－h2y） 由（A）式 ＝2π(m－m)＝0 即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均垂直,所以 Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。 (4)?? 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。 设:ABC为晶面族(h1h2h3) (h1,h2,h3为互质整数) 中离原点最近的晶面。ABC面与a1,a2,a3轴的截距矢量分别为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 请同学自证: h1= h1 , h2= h2 , h3= h3 该晶面族的法向矢为倒格矢G (h’1h’2h’3) ,其中最短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 (h1,h2,h3为互质整数)。晶面间距即为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 在法向的投影 d h1h2h3 = = = （5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm 问题： 若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一个为正格矢，则另一个必为倒格矢吗？ (p36*) 证： Gn x 晶面族(h1h2h3) 中离原点距离为mdh的晶面方程为： 其中x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。 （6）正、倒格子初基元胞体积间满足Ω·Ω※＝（2π）3 (7)晶体的傅立叶变换 设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里叶级数展开： V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表述”，它们之间满足傅立叶变换的关系。 二．布里渊区（B.Z） GT010 定义： 任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、第二、第三……近邻倒格点画出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点所围成的多面体称第一B.Z，它即为倒空间的W－S元胞，其“体积”为 Ω※＝b1·(b2×b3) 说明 并不是原点仅到最近邻的倒格点的倒格矢的中垂面所围成的区域叫第一B.Z; 第一B.Z又可表述为从原点出发，不