第5章__大数定律及中心极限定理精讲.ppt

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 引言 概率论与数理统计的研究对象是统计规律性（在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性）． 频率具有稳定性（当试验的次数无限增大时，频率稳定在一个数的附近）． 大量测量值的算术平均值在一定条件下也具有稳定性（n 个随机变量的算术平均，当n 无限增加时，在某种收敛的意义下逼近某一常数）． 大数定律就是讨论在什么条件下n 个随机变量的算术平均是稳定的． 依概率收敛 定义：对随机变量序列 Yn (n = 1, 2, …) ，若存在常数 a，使得 对于任意正数 e ，有 则称Yn (n = 1, 2, …) 依概率收敛于a ，记为 ． 依概率收敛 定义：对随机变量序列 Yn (n = 1, 2, …) ，若存在常数 a，使得 对于任意正数 e ，有 则称Yn (n = 1, 2, …) 依概率收敛于a ，记为 ． 是指：当 时，Yn 落在 (a －e , a + e )内的概率 越来越大，无限接近于1． 大数定律 定义：设随机变量 X1, X2, …, Xk, …都存在数学期望，即 若 即对于任意正数 e ， 有 则称 Xk (k = 1, 2, …) 服从大数定律． 三个常用的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律）：设随机变量 X1, X2, …, Xk, … 相互独立，且有相同的数学期望和方差： E(Xk) = m， D(Xk) = s 2 (k = 1,2,…) 则 即对于任意正数 e ， 有 ． 其中 ． 证明：根据切比雪夫不等式可知：对于任意正数e ，都有 这里 于是 令 ，则 回顾：切比雪夫不等式 定理（切比雪夫不等式）：设随机变量 X 具有期望和方差， E(X) = m， D(X) = s 2 则对于任意正数e ，都有 三个常用的大数定律 定理2（伯努利大数定律）：设 nA 是 n 次独立重复试验中事 件 A 发生的次数．p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则 即对于任意正数 e ，有 或 证明：设 ，k = 1, 2, …, n 则 X1, X2, …, Xn 相互独立，且 Xk ~ b(1, p)，于是 E(Xk) = p， D(Xk) = p(1－p) ，k = 1, 2, …, n 又 ， ， 根据切比雪夫大数定律，有 即对于任意正数 e ，有 结论：课本P.147第1段 三个常用的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律）：设随机变量 X1, X2, …, Xk, … 相互独立，且有相同的数学期望和方差： E(Xk) = m， D(Xk) = s 2 (k = 1,2,…) 则 即 其中 三个常用的大数定律 定理3（辛钦大数定律）：设随机变量 X1, X2, …, Xk, …相互 独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望： E(Xk) = m (k = 1,2,…) 则 即对于任意正数 e ， 有 ． §2 中心极限定理 高尔顿钉板试验 每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间． 从入口处放入一个直径略小于两颗钉子之间距离的小球. 在下落过程中，小球碰到钉子时从左边落下与从右边落下的机会均等． 当小球个数足够多时，可以看到小球在钉板底端堆成的曲线近似于正态分布． 高尔顿钉板试验 令 Xk (k = 1, 2, …, n)表示小球第 k 次碰到钉子后向右（左）落下： 则 E(Xk ) =0， D(Xk ) =1， 且 Xk (k = 1, 2, …, n) 相互独立． 令 Yn (n = 1, 2, …)表示小球经过n 次碰钉后的落点位置，试验表明 引言 客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的． 这些随机因素在总的影响中所起的作用都是微小的． 这种随机变量往往近似地服从正态分布． 中心极限定理就是